Прямоугольное число

Прямоуго́льное число́ — число, которое является произведением двух последовательных целых чисел^[1], то есть имеет вид ${\displaystyle R_{n}=n(n+1),}$ где ${\displaystyle n\geqslant 1..}$ В части источников также допускается случай ${\displaystyle R_{0}=0;}$ данная статья нумерует числа с 1, если не оговорено иное.

Значение прямоугольного числа имеет простой геометрический смысл — оно равно площади прямоугольника шириной ${\displaystyle n+1}$ и высотой ${\displaystyle n.}$ Поэтому многие источники относят прямоугольные числа к классу фигурных чисел, тем более что они тесно связаны с другими разновидностями чисел этого класса^[2].

Начало последовательности прямоугольных чисел:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, … (последовательность A002378 в OEIS)

1×2	2×3	3×4	4×5

Свойства

Все прямоугольные числа чётны, поэтому все они, кроме числа 2, являются составными.

Среднее арифметическое двух последовательных прямоугольных чисел является квадратным числом:

${\displaystyle {\frac {R_{n}+R_{n+1}}{2}}=(n+1)^{2}}$

Другими словами, между последовательными прямоугольными числами всегда содержится полный квадрат, причём только один (поскольку ${\displaystyle n^{2}<R_{n}<(n+1)^{2}<R_{n+1}<(n+2)^{2}}$).

Прямоугольное число 4×5 составлено из двух одинаковых треугольных чисел

${\displaystyle n}$-е по порядку прямоугольное число равно удвоенному ${\displaystyle n}$-му треугольному числу и на ${\displaystyle n}$ больше ${\displaystyle n}$-го квадратного числа:

${\displaystyle R_{n}=2T_{n}=n^{2}+n}$

Поскольку треугольное число ${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\ldots +n,}$ то вдвое большее прямоугольное число ${\displaystyle R_{n}}$ равно сумме первых ${\displaystyle n}$ чётных чисел.

Из того, что последовательные целые числа взаимно просты, следует:

• Каждый простой делитель прямоугольного числа может встретиться только в одном из множителей.
• Прямоугольные числа свободны от квадратов тогда и только тогда, когда свободны от квадратов как ${\displaystyle n,}$ так и ${\displaystyle n+1.}$
• Число различных простых делителей прямоугольного числа есть сумма числа различных простых делителей ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle n+1.}$
• ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {n}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {n}}\rceil =n.}$ Здесь уголки Айверсона${\displaystyle \lfloor {x}\rfloor }$ округляют ${\displaystyle x}$ до целого в меньшую сторону, а ${\displaystyle \lceil {x}\rceil }$ — в бо́льшую.

Сумма ${\displaystyle R_{n}+C_{n+1}^{(6)}}$ есть квадратное число ${\displaystyle (2n+1)^{2},}$ где ${\displaystyle C_{n+1}^{(6)}}$ обозначает ${\displaystyle (n+1)}$-е по порядку центрированное шестиугольное число.

Ряд из обратных прямоугольных чисел относится к категории телескопических рядов и поэтому сходится:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=1.}$

Применение

Прямоугольное число ${\displaystyle R_{n}}$ задаёт:

• число недиагональных элементов квадратной матрицы ${\displaystyle n\times n}$^[3];
• число размещений из ${\displaystyle n+1}$ элементов по 2;
  • в частности, число рёбер, соединяющих (различные) вершины ориентированного графа с ${\displaystyle (n+1)}$ вершинами (например, общее число писем, которые могут отправить друг другу, по одному, ${\displaystyle (n+1)}$ абонент).

Если приписать к каждому прямоугольному числу, включая 0, справа 25, получится последовательность квадратов чисел, оканчивающихся на 5:

${\displaystyle 025=5^{2},\ 225=15^{2},\ 625=25^{2},\ 1225=35^{2},\ 2025=45^{2},\ 3025=55^{2},\ldots }$

Это следует из формулы:

${\displaystyle (10n+5)^{2}=100n(n+1)+25.}$

Производящая функция

Производящая функция последовательности прямоугольных чисел^[4]:

${\displaystyle {\frac {2x}{(1-x)^{3}}}=2x+6x^{2}+12x^{3}+20x^{4}+\ldots }$

Примечания

1. Britannica (онлайн)  (неопр.). Дата обращения: 12 ноября 2021. Архивировано 12 ноября 2021 года.
2. Ben-Menahem, Ari. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volume 1. — Springer-Verlag, 2009. — С. 161. — (Springer reference). — ISBN 9783540688310.
3. Rummel, Rudolf J. Applied Factor Analysis. — Northwestern University Press, 1998. — С. 319. — ISBN 9780810108240.
4. MathWorld.

Литература

• Conway, J. H.; Guy, R. K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, pp. 33—34.
• Dickson, L. E. (2005), "Divisibility and Primality", History of the Theory of Numbers, vol. 1, New York: Dover, p. 357.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pronic Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Oblong numbers на сайте Fun With Num3ers  (англ.).