Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. В большей части западного мира она названа в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя за многие столетия до него её изучали и другие математики в исламском мире^[1], Индии^[2], Китае, Германии и Италии^[3]. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел^[4].

Первые 15 строк треугольника Паскаля

История

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до времён Паскаля. Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первую формулировку биномиальных коэффициентов и первое в истории описание треугольника Паскаля^[5][6][7]. Позднее треугольник также исследовался Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма (перс. مثلث خیام‎). Упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается также в комментарии индийского математика X века Халаюдхи^[англ.] к трудам другого математика, Пингалы^{[неавторитетный источник][8]}. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй, поэтому в Китае его называют треугольником Яна Хуэя (кит. 杨辉三角; 楊輝三角).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют треугольником Тартальи, поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета^[нем.], также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году^[9] вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»^[10], которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих европейских предшественников. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708), который назвал его «таблицей сочетаний г-на Паскаля» (фр. table de M. Pascal pour les combinaisons), и Абрахамом де Муавром (1730), который назвал его «арифметическим треугольником Паскаля» (лат. Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM), что стало основой современного западного названия^[11].

Обозначения и свойства

Биномиальные коэффициенты часто обозначаются ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ или ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ и читаются как «число сочетаний из n элементов по k»^[4].

• Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
• В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
  • первое и последнее числа равны 1;
  • второе и предпоследнее числа равны n;
  • третье число равно треугольному числу ${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$, что также равно сумме номеров предшествующих строк;
  • четвёртое число является тетраэдрическим;
  • m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту ${\displaystyle C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$.
• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

  ${\displaystyle {\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.}$

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна ${\displaystyle 2^{n}}$.
• Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом^[12] (следствие теоремы Люка).
• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на единицу меньше.
• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Выборочное вычисление значений

Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов ряда или диагонали без предварительного расчёта всех остальных элементов предыдущих рядов или факториалов.

Чтобы рассчитать ряд ${\displaystyle n}$ с элементами ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$, начните с ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$. Теперь, для каждого последующего элемента, рассчитайте его значение умножая предыдущий результат на дробь с постепенно меняющимися числителем и знаменателем:

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.}$

Например, для расчёта значений ряда номер 5, дроби будут иметь следующие значения  ${\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}$,  ${\displaystyle {\tfrac {4}{2}}}$,  ${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$,  ${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$ и ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$, и следовательно элементы ряда  ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1}$,   ${\displaystyle {\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5}$,   ${\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10}$, и так далее. (Оставшиеся элементы легко получить с помощью симметрии.)

Для расчёта элементов диагоналей ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,}$ начните снова с ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$ и получите последующие элементы путём умножения на определённые дроби:

${\displaystyle {n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.}$

Например, для расчёта диагонали начиная с ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}}$, дроби будут следующими  ${\displaystyle {\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots }$, и следовательно элементы получатся ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21}$, и так далее. По симметрии эти элементы равны ${\displaystyle {\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}}$, и так далее.

Цитаты

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребёнок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.Мартин Гарднер^[13]

См. также

• Треугольник Серпинского
• Гипотеза Сингмастера
• Треугольник Хосойя