Одиннадцатиугольник

Одиннадцатиуго́льник, называемый иногда гендекаго́н^[1] — многоугольник с одиннадцатью углами.

Правильный выпуклый 11-угольник

Площадь одиннадцатиугольника без самопересечений

Площадь одиннадцатиугольника без самопересечений, заданного координатами вершин, определяется по общей для многоугольников формуле.

Выпуклый одиннадцатиугольник

Выпуклым одиннадцатиугольником называется такой одиннадцатиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние (то есть соединённые одной стороной) вершины.

Сумма внутренних углов выпуклого одиннадцатиугольника равна 1620°.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{11}{\alpha _{i}=}(11-2)\cdot 180^{\circ }=9\cdot 180^{\circ }=1620^{\circ }.}$

Правильный одиннадцатиугольник

Правильный одиннадцатиугольник

Правильным называется одиннадцатиугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами. Такие многоугольники могут быть выпуклыми (без самопересечений) и звёздчатыми (см. ниже). Внутренний угол правильного одиннадцатиугольника без самопересечений равен 180° − 360°/11 = 147 3⁄11°. Обозначение символом Шлефли — {11}.

Площадь ${\displaystyle S}$ правильного выпуклого одиннадцатиугольника со стороной ${\displaystyle a}$ вычисляется по формуле^[2]

${\displaystyle S={\frac {11}{4}}a^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{11}}\approx 9{,}36564\,a^{2}.}$

Звёздчатые одиннадцатиугольники

Существует четыре типа правильных звёздчатых одиннадцатиугольников, каковыми являются многоугольники с самопересечениями, у которых все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного выпуклого одиннадцатиугольника.

{11/2}

{11/3}

{11/4}

{11/5}

Примечания

1. Гендекагон // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
2. Elias Loomis^[англ.] Elements of Plane and Spherical Trigonometry: With Their Applications to Mensuration, Surveying, and Navigation, Harper, p. 65. (1859).