Przestrzeń współrzędnych

Przestrzeń współrzędnych – prototypowy model przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad ustalonym ciałem; definiuje się ją jako przestrzeń produktową danego ciała nad skończonym zbiorem indeksów, w szczególności każde ciało można postrzegać jako jednowymiarową przestrzeń współrzędnych z działaniem mnożenia z ciała jako mnożenia przez skalar.

Definicja

Zobacz też: abstrakcyjna przestrzeń liniowa.

Niech ${\displaystyle K}$ będzie ustalonym ciałem (takim jak liczby rzeczywiste ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ liczby zespolone ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Zbiór ciągów ${\displaystyle n}$ elementów z ciała ${\displaystyle K}$ tworzy nad nim ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzeń liniową ${\displaystyle K^{n}}$ nazywaną przestrzenią współrzędnych z działaniami opisanymi poniżej.

Każdy wektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ma postać

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$

przy czym elementy ${\displaystyle x_{i}}$ ciągu nazywa się jego składowymi. Działania przestrzeni liniowej na ${\displaystyle K^{n}}$ zdefiniowane są „po składowych”, czyli wzorami

${\displaystyle \mathbf {x+y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n}),}$

${\displaystyle c\mathbf {x} =(cx_{1},cx_{2},\dots ,cx_{n}).}$

Wektor zerowy ma postać

${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0,\dots ,0),}$

a wektor przeciwny do ${\displaystyle \mathbf {x} }$ dany jest wzorem

${\displaystyle \mathbf {-x} =(-x_{1},-x_{2},\dots ,-x_{n}).}$

Wybór bazy

Osobny artykuł: baza przestrzeni liniowej.

W przestrzeni współrzędnych wyróżniona jest rodzina ciągów postaci

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0),}$

gdzie ${\displaystyle 1}$ oznaczająca element neutralny mnożenia w ${\displaystyle K}$ jest ${\displaystyle i}$-tym elementem ciągu, a pozostałe są równe ${\displaystyle 0,}$ czyli elementowi neutralnemu dodawania w ${\displaystyle K.}$ Ponieważ każdy wektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ przestrzeni można jednoznacznie wyrazić za pomocą powyższej rodziny,

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i},}$

w jednoznaczny sposób, to wspomniane wektory tworzą bazę ${\displaystyle K^{n}}$ – nazywa się ją bazą standardową lub bazę kanoniczną – współrzędne każdego z wektorów w tej bazie pokrywają się z jego składowymi. Nazwa tej przestrzeni wynika z twierdzenia mówiącego, iż każda ${\displaystyle n}$-wymiarowa przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ ma strukturę identyczną ze strukturą przestrzeni ${\displaystyle K^{n}.}$ Jednakże metoda utożsamienia tych przestrzeni nie jest uniwersalna – wymaga określenia bazy w przestrzeni ${\displaystyle V,}$ a więc wskazania izomorfizmu (liniowego) ${\displaystyle V\to K^{n}.}$ W ten sposób przekształcenie to wprowadza niejako układ współrzędnych tej przestrzeni; dokładniej, jeśli ${\displaystyle \mathrm {A} \colon K^{n}\to V}$ jest izomorfizmem (różnowartościowym przekształceniem liniowym) danym wzorem

${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {e} _{i})=\mathbf {a} _{i}}$

dla ${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$ to wektory ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ tworzą bazę przestrzeni ${\displaystyle V.}$ Podobnie dla każdej bazy uporządkowanej złożonej z wektorów ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ można wskazać izomorfizm ${\displaystyle \mathrm {A} \colon K^{n}\to V}$ dany wzorem

${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {a} _{i}.}$

W ten sposób dowolny wektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ można utożsamić z wektorem ${\displaystyle \mathbf {v} _{B}}$ jego współrzędnych w bazie uporządkowanej ${\displaystyle B=(\mathbf {b} _{i})}$ należący do ${\displaystyle K^{n},}$ mianowicie

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {b} _{1}+v_{2}\mathbf {b} _{2}+\ldots +v_{n}\mathbf {b} _{n}}$

odpowiada wtedy wektor złożony z jego współrzędnych w bazie ${\displaystyle B,}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}).}$

To jest właśnie powodem, dla którego ${\displaystyle K^{n}}$ nazywa się „przestrzenią współrzędnych” ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem ${\displaystyle K.}$ Mogłoby się wydawać, że abstrakcyjne przestrzenie liniowe (skończonego wymiaru) w świetle dostępności przestrzeni współrzędnych są niepotrzebne, jednak niekiedy dogodniejsze jest operowanie w przestrzeni bez wybranej bazy („układu współrzędnych”); istnieją również przestrzenie liniowe, w których wybór bazy nie jest oczywisty bądź zaciemnia sytuację – nie mniej wszelkie obliczenia i konkretne wymagają wybrania pewnej bazy przestrzeni liniowej (zob. sekcję Uogólnienia).

Macierze

Osobne artykuły: macierz i macierz przekształcenia liniowego.

Składowe wektora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ przestrzeni współrzędnych ${\displaystyle K^{n},}$ tzn. elementy ciągu ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ można zapisać w macierzy jednokolumnowej bądź jednowierszowej, tzn. typu ${\displaystyle n\times 1}$ lub ${\displaystyle 1\times n,}$ mianowicie

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\mbox{ lub }}\quad {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Działania na tych macierzach definiuje się identycznie jak opisano to w sekcji Definicja, z tego względu zwykle utożsamia się powyższe przestrzenie z przestrzenią współrzędnych^[a] bądź definiuje przestrzeń współrzędnych jako przestrzeń macierzy jednego z powyższych typów macierzy nad ciałem ${\displaystyle K.}$

Zwykle przedkłada się macierze jednokolumnowe nad macierze jednowierszowe nazywane odpowiednio wektorami kolumnowymi oraz wektorami wierszowymi, co ma swoje źródło w zastosowaniu macierzy typu ${\displaystyle m\times n}$ do opisu we współrzędnych (ustalonych bazach) przekształceń liniowych ${\displaystyle K^{n}\to K^{m}.}$ Wówczas działaniu przekształcenia liniowego na wektorze i składaniu przekształceń odpowiada mnożenie macierzy w naturalnym porządku, działaniom na przekształceniach ${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {x} ),\mathrm {A} \circ \mathrm {B} }$ odpowiadają działania na macierzach ${\displaystyle \mathbf {AX} ,\mathbf {AB} ,}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$ są macierzami przekształceń liniowych ${\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,}$ a kolejne elementy macierzy jednokolumnowej ${\displaystyle \mathbf {X} }$ pokrywają się z odpowiednimi elementami wektora ${\displaystyle \mathbf {x} .}$

Na mocy własności przekształcenia liniowego zachodzi

${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {x} )=\mathrm {A} \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathrm {A} (\mathbf {e} _{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {a} _{i},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ oznaczają wektory bazy standardowej; wynika stąd, że w celu obliczenia ${\displaystyle i}$-tej składowej obrazu ${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {x} )}$ wystarczy znać ${\displaystyle \mathbf {a} _{i},}$ czyli obraz ${\displaystyle i}$-tego wektora bazowego ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ w przekształceniu ${\displaystyle \mathrm {A} .}$ W języku macierzy ${\displaystyle \mathbf {AE} _{i}=\mathbf {A} _{i}}$ oznacza ${\displaystyle i}$-tą kolumnę macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ odpowiadającej ${\displaystyle \mathrm {A} .}$ Działanie ${\displaystyle \mathbf {AX} }$ można wtedy traktować jako

${\displaystyle \mathbf {AX} =\mathbf {A} \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {E} _{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {AE} _{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {A} _{i},}$

tzn. kombinację liniową składowych wektora kolumnowego ${\displaystyle \mathbf {X} }$ i wektorów kolumnowych ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ (por. mnożenie macierzy metodą współczynniki-wektory), co można zapisać w postaci macierzowej jako

${\displaystyle \mathbf {AX} ={\begin{bmatrix}x_{1}\mathbf {A} _{1}&\dots &x_{n}\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&\dots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}\mathbf {X} .}$

Umożliwia to postrzeganie macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jako ciągu wektorów kolumnowych – odpowiada temu traktowanie przekształcenia liniowego ${\displaystyle K^{n}\to K^{m}}$ jako przekształcenia wieloliniowego o ${\displaystyle n}$ argumentach w przestrzeń ${\displaystyle K^{m}}$ danego wzorem ${\displaystyle {\mathsf {A}}(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto \mathrm {A} ([x_{1},\dots ,x_{n}])=[x_{1}\mathbf {a} _{1},\dots ,x_{n}\mathbf {a} _{n}]}$ – obserwacja ta ułatwia niekiedy rozważania teoretyczne^[b].

Uogólnienia

Zobacz też: przykłady przestrzeni liniowych.

Ponieważ elementami przestrzeni współrzędnych są ciągi, tzn. funkcje określone na zbiorze skończonym ${\displaystyle \langle n\rangle =\{1,2,\dots ,n\}}$ o wartościach w ${\displaystyle K.}$ W ten sposób wektory są funkcjami, które odwzorowują każdy z elementów ${\displaystyle i}$ zbioru ${\displaystyle \langle n\rangle }$ na ${\displaystyle i}$-tą składową tego wektora. Dlatego przestrzeń współrzędnych ${\displaystyle K^{n}}$ to w istocie przestrzeń ${\displaystyle K^{\langle n\rangle }}$ funkcji ${\displaystyle \langle n\rangle \to K.}$ Pomysł ten uogólnia się na przestrzenie funkcji indeksowanych za pomocą dowolnego zbioru ${\displaystyle I}$ w postaci tzw. przestrzeni funkcyjnych, w szczególności uogólnionej, czy nieskończonej przestrzeni współrzędnych.

Dualność

Zobacz też: przestrzeń dualna, para dualna i transpozycja.

Wybór wektorów kolumnowych typu ${\displaystyle n\times 1}$ nie oznacza, że wektory wierszowe ${\displaystyle 1\times n}$ nie są wtedy używane: z każdą przestrzenią współrzędnych ${\displaystyle K^{n}}$ można związać przestrzeń ${\displaystyle {\underline {K^{n}}}}$ (oznaczaną zwykle gwiazdką w indeksie górnym za symbolem przestrzeni) form liniowych ${\displaystyle K^{n}\to K}$ nazywanej przestrzenią dualną do ${\displaystyle K^{n}.}$ Każdą formę liniową na ${\displaystyle K^{n}}$ można przedstawić w bazach standardowych (obu przestrzeni) w postaci

${\displaystyle u(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}u_{i}x_{i}.}$

Działanie formy ${\displaystyle u}$ na wektorze ${\displaystyle \mathbf {x} }$ jest liniowe ze względu tak na wektory, jak i na kowektory z osobna i daje wynik skalarny – można więc na nie patrzeć jako na formę dwuliniową ${\displaystyle {\underline {K^{n}}}\times K^{n}\to K}$ daną wzorem

${\displaystyle \langle u,\mathbf {x} \rangle =u(\mathbf {x} ).}$

Ta niezdegenerowana forma dwuliniowa ustala w ten sposób parowanie doskonałe między kowektorami a wektorami przestrzeni ${\displaystyle K^{n}}$ definiując izomorfizm ${\displaystyle {\underline {K^{n}}}\to K^{n}.}$ Dzięki temu utożsamieniu forma ${\displaystyle u}$ określona na przestrzeni ${\displaystyle K^{n}}$ (będąca równocześnie wektorem przestrzeni do niej dualnej ${\displaystyle {\underline {K^{n}}}}$) znajduje przedstawienie w postaci wektora współrzędnych ${\displaystyle \mathbf {u}$ ;} z tego powodu formy liniowe na ${\displaystyle K^{n}}$ nazywa się też kowektorami tej przestrzeni.

Wspomniany izomorfizm (albo ogólniej: parowanie) umożliwia zdefiniowanie transpozycji lub sprzężenia przekształcenia ${\displaystyle \mathrm {A} \colon K^{n}\to K^{m},}$ czyli przekształcenia liniowego ${\displaystyle {\underline {\mathrm {A} }}\colon {\underline {K^{m}}}\to {\underline {K^{n}}}}$ (zwykle oznacza się je gwiazdką lub dużą literą „T” w indeksie górnym po prawej stronie symbolu przekształcenia), które odwzorowuje kowektory przestrzeni ${\displaystyle K^{m}}$ w kowektory na ${\displaystyle K^{n}}$ według wzoru ${\displaystyle {\underline {\mathrm {A} }}(u)=u\circ \mathrm {A}$ ;} jego obraz będący formą na ${\displaystyle K^{n}}$ nazywa się cofnięciem^[c] ${\displaystyle u}$ przez/wzdłuż ${\displaystyle \mathrm {A} .}$ Ze względu na obecność w obu przestrzeniach form dwuliniowych utożsamiających wektory z kowektorami możliwe jest scharakteryzowanie tego odwzorowania za pomocą tożsamości ${\displaystyle \langle {\underline {\mathrm {A} }}(u),\mathbf {x} \rangle =\langle u,\mathrm {A} (\mathbf {x} )\rangle ,}$ która byłaby spełniona dla wszystkich ${\displaystyle u,\mathbf {x} .}$

Z definicji mnożenia macierzy wynika^[d], że jeśli wektory kolumnowe odpowiadają wektorom danej przestrzeni współrzędnych, to wektory wierszowe reprezentują jej kowektory, gdyż wspomniane parowanie w przypadku macierzy przyjmuje postać

${\displaystyle {\underline {\mathbf {U} }}\mathbf {X} =\left[{\begin{smallmatrix}u_{1}&\dots &u_{n}\end{smallmatrix}}\right]\left[{\begin{smallmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{smallmatrix}}\right]=\left[\sum _{i=1}^{n}u_{i}x_{i}\right]={\big [}u(\mathbf {x} ){\big ]},}$

gdzie podkreślenie oznacza izomorfizm ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n\times 1}\to \mathrm {Mat} _{1\times n}}$ odpowiadający utożsamieniu wektorów z kowektorami. Transpozycji przekształcenia liniowego odpowiada transpozycja (nazywana też przestawieniem i oznaczana standardowo dużą literą „T” w indeksie górnym za symbolem) macierzy ${\displaystyle \mathbf {M} }$ typu ${\displaystyle m\times n}$ dająca w wyniku macierz ${\displaystyle {\underline {\mathbf {M} }}}$ typu ${\displaystyle n\times m,}$ która polega na zamianie miejscami jej wierszy i kolumn (z zachowaniem ich porządku).

Choć oczywiste jest, iż ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} }}}=\mathbf {A} ,}$ to wcale nie jest jasne, iż ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathrm {A} }}}\colon {\underline {\underline {K^{n}}}}\to {\underline {\underline {K^{m}}}},}$ a w szczególności, iż ${\displaystyle {\underline {\underline {K^{n}}}}}$ ma tę samą strukturę, co ${\displaystyle K^{n}.}$ Jak można się domyślać, skoro zachodzi równość dla macierzy, to istnieje pewne utożsamienie (izomorfizm) między tymi przestrzeniami – wynika to wprost z faktu, iż dowolne dwie przestrzenie liniowe równego wymiaru skończonego są izomorficzne. W tym wypadku istnieje jednak naturalne przekształcenie danej z przestrzeni z jej drugą dualną (tj. przestrzeni form liniowych określonych na przestrzeni form liniowych danej przestrzeni), które odwzorowywałoby wektor w „ko-kowektor”, czyli formę ${\displaystyle {\underline {K^{n}}}\to K.}$ Obliczenie wartości (tzw. ewaluacja) formy dla ustalonego wektora, ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathbf {x} }\colon u\mapsto u(\mathbf {x} ),}$ jest przekształceniem liniowym ze względu na przyłożone formy, które jest elementem ${\displaystyle {\underline {\underline {K^{n}}}}.}$ Przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {ev} \colon \mathbf {x} \mapsto \mathrm {ev} _{\mathbf {x} },}$ liniowe ze względu na przyłożone wektory, odwzorowuje więc ${\displaystyle K^{n}}$ w przestrzeń ${\displaystyle {\underline {\underline {K^{n}}}}.}$ W ten sposób działanie ${\displaystyle \mathrm {ev} }$ obliczania wartości formy ${\displaystyle u}$ przy jej działaniu na wektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ dane wzorem ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathbf {x} }(u)=u(\mathbf {x} )}$ jest naturalnym parowaniem danej przestrzeni i przestrzeni do niej dualnej – przestrzenie, dla których istnieje tego rodzaju utożsamienie (zwykle jest ono tylko zanurzeniem), nazywa się refleksywnymi; są nimi w szczególności przestrzenie współrzędnych, o czym mówi ta uwaga (zob. para dualna).

Analizowanym w poprzedniej sekcji działaniom na przekształceniach, ${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {x} ),\mathrm {A} \circ \mathrm {B} ,}$ odpowiada mnożenie następujących macierzy: ${\displaystyle {\underline {\mathbf {XA} }}}$ oraz ${\displaystyle {\underline {\mathbf {BA} }},}$ czyli w odwrotnym porządku – przedkładanie wektorów kolumnowych nad wierszowe przy opisie przekształceń liniowych jest więc czysto arbitralne i wynika z naturalnej w zachodniej kulturze chęci zapisu działań od lewej do prawej^[e].

Iloczyn skalarny

Osobny artykuł: iloczyn skalarny.

W przestrzeni współrzędnych nad ciałem liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definiuje się działanie odwzorowujące parę wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ w ciało jej skalarów nazywane iloczynem skalarnym tych wektorów:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$ :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.}

Odwzorowanie to wprowadza na przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ strukturę unitarną, w tym pojęcia „długości” i „odległości”; każda przestrzeń liniowa ma naturalną strukturę afiniczną nad samą sobą, dzięki czemu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ma strukturę euklidesową.

Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że jest przemienny i liniowy ze względu oba argumenty: w oparciu o poprzednią sekcję rozważania te sugerują istnienie niezdegenerowanej formy dwuliniowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ będącej parowaniem przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ze sobą dzięki istnieniu formy ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} ^{n}}}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ dającej izomorfizm ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} ^{n}}}\to \mathbb {R} ^{n}.}$ Dlatego choć iloczyn skalarny jest działaniem na wektorach, to operacje z jego wykorzystaniem muszą respektować utożsamienie wektorów z kowektorami (tj. działanie kowektorów na wektorach) – przekształceniami zachowującymi własności iloczynu skalarnego są przekształcenia ortogonalne (ich macierzami są macierze ortogonalne).

Inna natura obiektów manifestuje się w odmiennym ich zachowaniu przy zmianie bazy za pomocą przekształcenia nieortogonalnego (tj. przy nieortogonalnych automorfizmach przestrzeni liniowej, np. na prostoliniową, czy krzywoliniową): współrzędne wektorów przekształcają się w pewnym sensie „na przekór” (kontrawariantnie) przekształceniu przejścia między bazami, z kolei współrzędne kowektorów odwzorowywane są niejako „zgodnie” (kowariantnie) względem tego przekształcenia. Nie mniej obecność przestrzeni dualnej długo pozostawała niezauważona, a konieczność śledzenia wektorów i kowektorów stała się jednym z powodów, dla których preferuje się operowanie na przestrzeniach bez wybranych baz.

Podobnie można określić przestrzeń współrzędnych zespolonych w przypadku ciała liczb zespolonych i rozważać iloczyn skalarny dany jednak nieco innym wzorem, wówczas mówi się o przestrzeniach unitarnych, przekształceniach unitarnych i macierzach unitarnych.

Uwagi

1. Za pomocą izomorfizmów ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{1\times n}\to K^{n}}$ lub ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n\times 1}\to K^{n}}$ będących rzutami na odpowiednie współrzędne, por. definicje ciągu i macierzy.
2. Przykładowo rozszerzenie jej na „wektory wektorów” pozwala w szczególności na traktowanie wyznacznika ${\displaystyle \det \colon \mathrm {Mat} _{n\times n}\to K}$ macierzy typu ${\displaystyle n\times n}$ (np. macierzy Grama) jako formy wieloliniowej ${\displaystyle \det \colon \left(\mathrm {Mat} _{n\times 1}\right)^{n}\to K}$ jej wektorów kolumnowych, którym odpowiadają wektory przestrzeni ${\displaystyle K^{n},}$ co daje przekształcenie ${\displaystyle \det \colon \left(K^{n}\right)^{n}\to K}$ (wyznacznik traktuje się czasem jako wielomian ${\displaystyle \det \colon K^{n\cdot n}\to K}$). Daje to możliwość zdefiniowania go bez wyróżniania żadnego układu współrzędnych.
3. Cofnięcie nazywane jest też z ang. „pullbackiem” (a nawet w formie spolszczonej: „pulbekiem”), bądź bardziej oficjalnie: produktem włóknistym; w geometrii różniczkowej analogicznie przekształcenie między przestrzeniami kostycznymi (które są liniowe) nazywa się odwzorowaniem kostycznym.
4. Mnożenie macierzy przez skalar definiuje się zwykle jako oddzielne działanie, w przypadku wektorów kolumnowych i wierszowych można jednak do jego opisu użyć mnożenia macierzy – skalarom odpowiadają wtedy macierze ${\displaystyle 1\times 1,}$ tj. wektory kolumnowe lub wierszowe o jednej współrzędnej – mają one te same własności mnożone lewostronnie przez wektor kolumnowy i prawostronnie przez wierszowy.
5. Wybór przeciwny nie byłby tak niezwykły, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka: sposób zapisu z argumentami z lewej strony przekształcenia stosuje się czasem w teorii grup, w szczególności do zapisu homomorfizmów grup abelowych.