Teoria punktu stałego
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Teoria punktu stałego (ang. fixed point theory) – dział matematyki zajmujący się równaniami postaci f(x)=x, gdzie f jest pewną funkcją. Podstawe zagadnienie tej teorii to pytanie, przy jakich założeniach o zbiorze X i o funkcji powyższe równanie ma rozwiązanie, zwane punktem stałym. Bada się też własności zbiorów jego rozwiązań.
Ten artykuł od 2010-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
L.E.J. Brouwer (1881–1966)
Stefan Banach (1892–1945)
Bronisław Knaster (1893–1980)
Juliusz Schauder (1899–1943)
Alfred Tarski (1901–1983)
Problem ten ma wiele wariantów, gdyż:
- rozważana dziedzina może mieć najróżniejsze struktury – może to być np. przestrzeń topologiczna, metryczna lub zbiór uporządkowany;
- rozważana funkcja może mieć najróżniejsze własności – może być ciągła, zwężająca lub monotoniczna;
- funkcja f może działać z pewnego podzbioru w całą przestrzeń; zob. np. alternatywa Leraya-Schaudera dla przestrzeni Banacha.
Przez to teoria punktu stałego przenika się z innymi dyscyplinami jak analiza, topologia czy teoria porządku.
Udowodniono szereg twierdzeń o punkcie stałym – o istnieniu takich argumentów dla pewnych funkcji. Pierwsze z nich ogłoszono najpóźniej na początku XX wieku; przykładowo z 1910 roku pochodzi twierdzenie Brouwera[1]. Podano też twierdzenia mówiące, że to zbiór ma własność punktu stałego w sensie topologii; przykład to twierdzenie Schaudera-Tichonowa. W latach 20. XXI wieku istnieje osobne czasopismo poświęcone takim zagadnieniom[2].