Loading AI tools
dział matematyki oparty na pojęciu granicy, badający m.in. ciągłość, różniczkowanie i całki Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Analiza matematyczna – jeden z głównych działów nowożytnej matematyki, zaliczany do matematyki wyższej[1]. Analiza to zespół różnych dyscyplin, które łączy użycie pojęcia granicy do badania funkcji o wartościach rzeczywistych i uogólnień tych funkcji[2]. Podstawowe, charakterystyczne problemy rozwiązywane przez tę dziedzinę to m.in. obliczanie granic ciągów[3], w szczególności działań nieskończonych jak sumy szeregów[1], m.in. w celu obliczania miar jak długości krzywych, pola powierzchni, objętości czy prawdopodobieństwa. Z czasem pojęcie granicy zastosowano też do innych zagadnień jak badania ekstremów funkcji i znajdowanie asymptot ich wykresów. Przez uniwersalność pojęcia funkcji analiza:
Rozwój analizy trwa nieprzerwanie od setek lat, przez całą nowożytność. Pojęcia i metody bliskie tej dziedzinie stosował już Archimedes z Syrakuz w III w. p.n.e. (metoda wyczerpywania), jednak za początek analizy jako samodzielnej dyscypliny przyjmuje się wiek XVII[2][4]. Wtedy Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz rozważali jej podstawowe pojęcia jak pochodna, całka i związek między nimi – zasadnicze twierdzenie analizy (twierdzenie Newtona–Leibniza). Od tego czasu ten rachunek różniczkowo-całkowy wielorako kontynuowano – udało się:
Równolegle rozwinięto inne dziedziny jak rachunek wariacyjny, równania różniczkowe cząstkowe, analiza zespolona czy harmoniczna. Powstałe w analizie pojęcie ciągłości zapoczątkowało topologię, która stała się samodzielną, odrębną dyscypliną.
Analiza wzajemnie oddziałuje z innymi dziedzinami matematyki. Wyłoniła się z ilościowych badań w geometrii, rozwiązała w niej wiele problemów tego typu i przyczyniła się do wyklarowania jej pojęć. Formalizująca całkę teoria miary pozwoliła zdefiniować takie wielkości jak długość linii, pole powierzchni czy objętość, a potomna względem analizy topologia uściśliła pojęcie krzywej. Analiza poszerzyła też sam zakres badań geometrii; niektóre figury – zwłaszcza fraktale – są definiowane przez granice i zbieżność, a w XIX wieku geometria różniczkowa wprowadziła przestrzenie Riemanna. Z drugiej strony wpływ geometrii na analizę nie ograniczył się do genezy; w XX wieku idee geometryczne i algebraiczne stworzyły analizę funkcjonalną – przestrzenie funkcyjne stanowią uogólnienie klasycznej przestrzeni euklidesowej, a przestrzenie Hilberta są zdefiniowane przez iloczyn skalarny wywodzący się z geometrii analitycznej dwu- i trójwymiarowych wektorów. Inne działy korzystające z analizy to m.in. teoria liczb; przykładowo najpóźniej w XIX wieku powstała analityczna teoria liczb. Niektóre pojęcia analizy jak pochodna zostały zastosowane w algebrze do badań wielomianów, w oderwaniu od pierwotnego znaczenia i kontekstu, a zasadnicze twierdzenie algebry jest dowodzone analitycznie. Teoria miary stała się teoretyczną podstawą probabilistyki, a przez to statystyki matematycznej i różnych zastosowań matematyki w naukach empirycznych. Analiza była też bodźcem do rozwoju teorii mnogości i innych podstaw matematyki; pojawiający się w nich aksjomat wyboru jest istotny w dowodzeniu podstawowych faktów analizy, a wynikający zeń paradoks Banacha-Tarskiego dotyczy teorii miary.
Analiza matematyczna to fundament nowożytnej fizyki – podstawowe prawa fizyki jak równania ruchu czy pól fizycznych są formułowane przez równania różniczkowe lub zasady wariacyjne. Przez ten ścisły związek fizyka stymulowała rozwój analizy, czasem otwierając jej nowe dziedziny jak teoria dystrybucji. Analizą zajmowali się najwybitniejsi matematycy wszech czasów – nie tylko Archimedes, Newton i Leibniz, ale również Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Pierre Laplace, Joseph Fourier, Carl Friedrich Gauss, Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann, Karl Weierstrass, David Hilbert i inni[2]. W XX wieku powstały czasopisma badawcze poświęcone w całości analizie lub nawet jej konkretnym dziedzinom, np. polskie „Studia Mathematica” – analizie funkcjonalnej.
Kwestie związane z granicami trapiły już filozofów przedsokratejskich, zwłaszcza eleatów. Paradoksy Zenona z Elei wyrażają m.in. fakt zbieżności nieskończonego szeregu oraz podnoszą kwestię tego, czy ruch składa się z chwilowych spoczynków – na co później odpowiedziano negatywnie, za sprawą pojęcia prędkości chwilowej.
Rozumowania oparte na przejściach granicznych skutecznie stosował Archimedes z Syrakuz, obliczając tak m.in.:
W okresie hellenistycznym metody te rozwijał Pappus z Aleksandrii – twierdzenia Pappusa-Guldina opisują pola powierzchni i objętości ogólnych brył obrotowych. Równolegle do matematyków greckich tworzył Liu Hui, który w III w. n.e. metodą podobną do tej Archimedesa obliczył przybliżenie pi z wyższą dokładnością.
Początki właściwej analizy matematycznej przyszły z początkiem XVII wieku. Wtedy obejmowała ona jedynie to, co później nazwano rachunkiem różniczkowym i całkowym. Jej rozwój zainicjowały prace Leibniza i Newtona. Oprócz twierdzenia Newtona–Leibniza znane wtedy były też:
Wiek XVIII to kontynuacja wcześniejszego kierunku badań, zwłaszcza za sprawą Leonharda Eulera, Joseph Louis Lagrange’a i Jeana le Ronda d’Alemberta. Ten pierwszy między innymi:
Lagrange jest za to wiązany z twierdzeniem o wartości średniej dającym pewien fundament szeregom Taylora. Obaj uczeni są upamiętnieni nazwami równań Eulera-Lagrange’a w rachunku wariacyjnym, np. w stworzonej przez Lagrange’a mechanice analitycznej. Oprócz tego d’Alembert:
Na początku XIX wieku Pierre Laplace i Siméon Denis Poisson kontynuowali badania równań różniczkowych, m.in. metodami operatorów różniczkowych i transformat całkowych; tworzyli tak podwaliny klasycznej teorii potencjału. Następnie pojawiły się początki pojęciowego rygoru – Bernard Bolzano, Augustin Louis Cauchy i Karl Weierstrass zdefiniowali ściśle granice ciągów, a Bernhard Riemann – całkę oznaczoną, w tej postaci nazwanej całką Riemanna. Tamto stulecie otworzyło również nowe poddziedziny analizy:
Henri Poincaré, Camille Jordan, Georg Cantor i inni na gruncie analizy zbudowali też podstawy topologii. W tym samym stuleciu pojawiły się też zastosowania analizy do najstarszej dziedziny matematyki – podstawy analitycznej teorii liczb.
W XX wieku pojawiły się dalsze dziedziny analizy, przede wszystkim:
Wśród problemów milenijnych znalazły się co najmniej dwa należące do szeroko rozumianej analizy:
W 2024 roku oba pozostają nierozwiązane.
Analiza korzysta z innych dyscyplin, w pewnym sensie bardziej fundamentalnych jak:
Geometria różniczkowa zatryumfowała w topologii – na tej dziedzinie geometrii opiera się hipoteza Thurstona, która pozwoliła udowodnić hipotezę Poincarégo w topologii algebraicznej.
W miarę rozwiązywania kolejnych problemów stawianych przez analizę matematyczną powstawały zupełnie nowe działy matematyki, które dziś wchodzą w skład analizy:
Historycznie jako dziedzinę analizy wyróżniano też „teorię funkcji” badającą funkcje rzeczywiste i zespolone, jednej lub wielu zmiennych[5][4].
Analizie matematycznej przysłużyli się między innymi:
Analizą zajmowali się też matematycy związani z Polską:
Oprócz tego Franz Mertens – czasem zaliczany do grona uczonych polskich – badał analityczne aspekty teorii liczb. Inny polski przedstawiciel tego pogranicza dziedzin to Henryk Iwaniec, związany zawodowo z USA.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
