Wielokąt foremny

Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości^[1].

Przykładowe wielokąty foremne, mające od trzech do ośmiu boków

Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0°.

Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny – jako kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że ${\displaystyle n}$-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n}$ jest liczbą postaci ${\displaystyle 2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},}$ gdzie ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{s}}$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory

Przyjęte oznaczenia:

${\displaystyle n}$ – liczba boków wielokąta foremnego,

${\displaystyle a}$ – długość jednego boku wielokąta.

• Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

${\displaystyle \gamma ={\frac {\pi (n-2)}{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}}.}$

• Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {360^{\circ }}{n}}.}$

• Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {cosec} {\frac {\pi }{n}}.}$

• Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:

${\displaystyle r={\frac {a}{2\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}.}$

• Wzory na długość boku wielokąta foremnego:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\\&=2R\sin {\frac {\pi }{n}}\\&=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}.\end{aligned}}}$

• Wzór na obwód wielokąta foremnego:

${\displaystyle L=n\cdot a.}$

• Wzory na pole powierzchni wielokąta foremnego:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}na^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}\\&={\frac {nar}{2}}\\&=nr^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}\\&=nR^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}\\&={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}.\end{aligned}}}$

• Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:

${\displaystyle d_{k}={\frac {a\sin {\frac {(k+1)\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}},}$

gdzie ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\ 1\leqslant k\leqslant n-3.}$

• Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)

${\displaystyle \gamma ={\frac {\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }}{n}}.}$

Tabela wielokątów foremnych

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa	Ilustracja	Liczba boków	Miara kąta wewnętrznego	Konstruowalny cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny		3	${\displaystyle 60^{\circ }}$
Kwadrat		4	${\displaystyle 90^{\circ }}$
Pięciokąt foremny		5	${\displaystyle 108^{\circ }}$
Sześciokąt foremny		6	${\displaystyle 120^{\circ }}$
Siedmiokąt foremny		7	${\displaystyle {128{\tfrac {4}{7}}}^{\circ }}$
Ośmiokąt foremny		8	${\displaystyle 135^{\circ }}$
Dziewięciokąt foremny		9	${\displaystyle 140^{\circ }}$
Dziesięciokąt foremny		10	${\displaystyle 144^{\circ }}$

Zobacz też

Zobacz hasło wielokąt foremny w Wikisłowniku

• wzór Picka