Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
twierdzenie topologii o przestrzeniach euklidesowych / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym:
- Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu[uwaga 1]
w siebie ma punkt stały.
Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty).
n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w zawierający
punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich
osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych, np. dla kuli
Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.
Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie Hilberta[1]. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka Piersa Bohla w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henri Poincarégo w 1886 roku[2][3].
Twierdzenie Brouwera wynika z twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym oraz jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia Schaudera o punkcie stałym.