보렐 집합

측도론에서 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린집합들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합이다.^[1]

정의

위상 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$의 보렐 시그마 대수(Borelσ代數, 영어: Borel sigma-algebra) ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ 또는 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)}$는 열린집합들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$를 포함하는 최소의 시그마 대수이다.^{[2]:68, §11.A[1]:83, §3.1} (후자의 기호는 사영 위계의 표기법에서 유래한다.) ${\displaystyle X}$의 보렐 집합은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, 열린집합으로부터 가산 번의 가산 합집합·가산 교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다.

보렐 측도(Borel測度, 영어: Borel measure)는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다. 위상 공간 ${\displaystyle X}$의 보렐 가측 공간(영어: Borel measurable space)은 보렐 시그마 대수를 갖춘 가측 공간이다.

보렐 위계

만약 ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$가 거리화 가능 공간일 경우, 보렐 시그마 대수 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)}$는 초한 귀납법을 사용하여, 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha >0}$에 대하여, 다음과 같은 보렐 위계(Borel位階, 영어: Borel hierarchy)를 정의하자.^{[2]:68, §II.B}

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)={\mathcal {U}}}$ (모든 열린집합들의 집합)

${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)=\{X\setminus S\colon S\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}\}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)=\left\{\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}\colon \forall i\in \mathbb {N} (X_{i}\in {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha _{i}}^{0}\land \alpha _{i}<\alpha )\right\}\qquad (\alpha >1)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}(X)={\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)\cap {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)}$

그렇다면 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}={\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)}$
• 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha >0}$에 대하여, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)\subseteq {\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha +1}^{0}(X)}$

즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.^{[2]:69, §11.B}

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\{\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{3}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\&&{\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}&&&\cdots \end{matrix}}}$

여기서 ${\displaystyle A\to B}$는 ${\displaystyle A\subseteq B}$를 의미한다.

보렐 위계의 일부 단계의 원소들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

보렐 위계의 단계	이름
${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}}$	열린닫힌집합들의 집합
${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}}$	열린집합들의 집합
${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$	닫힌집합들의 집합
${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}}$	Fσ 집합(Fσ集合, 영어: Fσ set)들의 집합[1]:44, §2.1[2]:1, §1.A
${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}}$	Gδ 집합(Gδ集合, 영어: Gδ set)들의 집합[1]:44, §2.1[2]:1, §1.A

성질

연산에 대한 닫힘

두 위상 공간 ${\displaystyle X,Y}$ 사이의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 (보렐 시그마 대수에 대하여) 가측 함수이다. 즉, 보렐 집합 ${\displaystyle S\subseteq Y}$의 원상 ${\displaystyle f^{-1}(S)\subseteq X}$은 보렐 집합이다. (반면, 만약 ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$일 경우, 르베그 가측 집합의 연속 함수에 대한 원상은 일반적으로 르베그 가측 집합이 아니다.) 보렐 집합의 연속 함수에 대한 상은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$가 폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석적 집합이다.

다음이 성립한다.^[1]:116

집합족	유한 교집합에 대해 닫힘	가산 교집합에 대해 닫힘	유한 합집합에 대해 닫힘	가산 합집합에 대해 닫힘	여집합에 대해 닫힘	연속 함수에 대한 상	보렐 가측 함수에 대한 원상
${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}}$	⭕	❌	⭕	❌	⭕	❌	❌
${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}}$	⭕	❌	⭕	⭕	❌	❌	❌
${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}}$	⭕	⭕	⭕	❌	❌	❌	❌
${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}}$	⭕	⭕	⭕	⭕	⭕	❌	⭕

보렐 집합의 수

폴란드 공간 ${\displaystyle X}$의 보렐 집합의 수는 다음과 같다.

${\displaystyle |{\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)|=2^{\min\{|X|,\aleph _{0}\}}}$

증명:

가산 폴란드 공간은 이산 공간이므로 자명하다. 따라서, ${\displaystyle X}$가 비가산 폴란드 공간(즉, ${\displaystyle \mathbb {R} }$)라고 하자.

보렐 시그마 대수의 초한 귀납법 작도를 생각하자. 이 경우 ${\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )|=2^{\aleph _{0}}}$이며, 초한 귀납법의 각 단계에서

${\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}$

이므로 집합의 크기는 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$을 초과하지 않는다.

반면, 실수의 르베그 가측 집합의 수는

${\displaystyle |{\mathcal {L}}(\mathbb {R} )|=2^{2^{\aleph _{0}}}}$

이다. 이는 크기가 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분 집합은 르베그 가측 집합이기 때문이다.

분리 정리

루진-노비코프 분리 정리에 따르면, 임의의 폴란드 공간 ${\displaystyle X}$ 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(X)}$, ${\displaystyle |I|\leq \aleph _{0}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing }$이라면, ${\displaystyle \forall i\in I\colon B_{i}\supseteq A_{i}}$이자 ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}B_{i}=\varnothing }$인 보렐 집합들의 집합족 ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)}$이 존재한다.^{[2]:219, Theorem 28.5[1]:155, Theorem 4.6.1}

베르 범주와의 관계

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$의 임의의 제1 범주 집합 ${\displaystyle M\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle M\subseteq {\tilde {M}}\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)}$인 제1 범주 집합 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$이 존재한다.

증명:

정의에 따라, ${\displaystyle M}$은 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합 ${\displaystyle \{M_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$들의 합집합으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle M=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }M_{i}}$

조밀한 곳이 없는 집합의 폐포는 (자명하게) 조밀한 곳이 없는 집합이므로,

${\displaystyle {\tilde {M}}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} (M_{i})}$

로 놓으면 자명하게 ${\displaystyle M\in {\tilde {M}}\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)}$이다.

준열린집합들의 집합족 ${\displaystyle \operatorname {BP} (X)}$은 열린집합과 제1 범주 집합을 포함하는 최소의 시그마 대수이므로,^{[2]:47, Proposition 8.32} 모든 보렐 집합은 준열린집합이다.^{[2]:71, Proposition 11.5}

${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)\subseteq \operatorname {BP} (X)}$

예

수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 예를 들어, 실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 속의 다음과 같은 부분 집합들의 보렐 위계에서의 위치는 다음과 같다.

• 공집합 ${\displaystyle \varnothing }$: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )}$
• 실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )}$
• 양의 실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )}$
• 음이 아닌 실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )}$
• 정수 집합 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )}$
• 유리수 집합 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(\mathbb {R} )}$
• 무리수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(\mathbb {R} )}$

F_σ 집합이 아닌 열린집합

거리화 가능 공간의 모든 열린집합은 F_σ 집합이다. 그러나 이는 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않는다. 최소 비가산 순서수 ${\displaystyle \omega _{1}}$은 순서 위상을 부여하면 위상 공간을 이룬다. ${\displaystyle U}$가 ${\displaystyle \omega _{1}}$의 고립점들의 집합이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle U}$는 열린집합이며 비가산 집합이다. 반면 ${\displaystyle \omega _{1}}$은 가산 콤팩트 공간이므로, 닫힌집합은 유한 집합과 동치이며, 따라서 ${\displaystyle U}$는 F_σ 집합이 아니다.^[3]

보렐 집합이 아닌 집합

실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.)

집합 ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자.

• ${\displaystyle a\in A}$의 연분수 표현
  ${\displaystyle a=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$
  의 계수 ${\displaystyle a_{i}}$ 가운데, ${\displaystyle a_{k_{i}}\mid a_{k_{i+1}}}$인 부분 수열 ${\displaystyle a_{k_{0}},a_{k_{1}},\ldots }$이 존재한다.

그렇다면 ${\displaystyle A}$는 보렐 집합이 아닌 해석적 집합이다.

역사

보렐 집합의 개념은 에밀 보렐이 1905년에 도입하였다.^{[4][1]:xi[5]:153, §11}

"F_σ 집합"이라는 용어에서, F는 프랑스어: fermé 페르메^[*](닫힌집합)의 머리글자이며, σ는 프랑스어: somme 솜^[*](합집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.^{[6]:23, §1.3} 마찬가지로, "G_δ 집합"이라는 용어에서, G는 독일어: Gebiet 게비트^[*](근방)의 머리글자이며, δ는 독일어: Durschnitt 두르슈니트^[*](교집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.^{[6]:23, §1.3}

각주

1. Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 180. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. MR 1619545. Zbl 0903.28001.
2. Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.
3. “Why is each open set an Fσ?”. 《Mathematics Stack Exchange》 (영어). 2019년 12월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 12월 4일에 확인함.
4. Borel, Émile (1905). 《Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes, professées a l’École normale supérieure》. Collection de monographies sur la théorie des fonctions, publiée sur la direction de M. Émile Borel (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. JFM 36.0435.01.
5. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002.
6. Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). 《Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces》. Princeton Lectures in Analysis (영어) 3. Princeton University Press. ISBN 978-069111386-9. Zbl 1081.28001.

외부 링크

• “Borel set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Borel field of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Borel set, criterion for a”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Borel function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Borel measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Suslin theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Separability of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Luzin separability principles”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel sigma-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel hierarchy”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “F_sigma set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “G_delta set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Borel subset”. 《nLab》 (영어).
• “G-delta subspace”. 《nLab》 (영어).
• “Definition: Borel sigma-algebra”.
• “Definition: F-sigma set”.
• “Definition: G-delta set”.
• “Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?” (영어).

같이 보기

• 기술적 집합론
• 해석적 집합
• 사영 집합