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数学において、三次曲線(さんじきょくせん、英: cubic)、特にユークリッド幾何学における平面三次曲線(英: cubic plane curve)は以下のような三次方程式によって定義される代数曲線である。
![]() | この項目「三次曲線」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。(原文:英語版"Cubic plane curve" 20:33, 17 February 2024) 修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。(2024年6月) |
ここでは射影平面上の斉次座標、またはアフィン空間の非斉次座標でz = 1とした座標で、Fは三次の斉次多項式、すなわち以下のような0でない三次単項式の線形結合とする。
これら10個の項から成ることより、三次曲線は任意の可換体K上で9次元の射影空間を成す。また三次曲線Cを満たす1点Pは1つの線形条件を課す。したがって9つの点を通る三次曲線はただ一つに決定される。 5つの点で決定する円錐曲線と比較してみると、2つの三次曲線が9つの点を通るならば、それらは束を成し、さらなる性質を持つこととなる(ケイリー=バッハラッハの定理)。
三次曲線には特異点を持つものもあり、射影直線におけるパラメトリック方程式となる。一方、 特異点を持たない三次曲線は複素数のような代数的閉体上に9つの変曲点を持つ[1]。これは、三次曲線を再定義するヘッセ行列の同次座標をCと掛け合わせることにより示すことができる(ベズーの定理)。しかし、これらの点のうちは実射影平面上にあるのは3点だけであり[2]、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの変曲点は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。
実射影平面上にある変曲点はニュートンによって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「オーバル」を通ることが発見された。 これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、ユークリッド平面に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。 円錐曲線の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。
非特異な三次曲線はK上の楕円曲線でもある。楕円曲線は普通、ワイエルシュトラスの楕円関数を変形したもので研究されており、三次関数の平方根で作られた有理関数上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の無限遠点としてはたらくK-有理点に依存する。Kが有理数体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。
尖点や二重点など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。 そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点または二重尖点、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点(共点)を持つ。
△ABCの辺について とする。△ABCの有名な三次曲線は様々な三角形の中心を通る。以下は斉次座標である三線座標と重心座標を用いる。
三線座標から重心座標への変換は以下の様に行われれる。
重心座標から三線座標への変換は以下の様に行われれる。
三次曲線の多くは以下の形式で表される。
この式は下記のような上の式を略した表記を用いることもある。
またXの等角共役点をX*とする。このとき三線座標において ならば が成り立つ。
三線座標:
重心座標:
ノイベルグ三次曲線(Neuberg cubic)はX*が直線EX上(Eはオイラー無限遠点X(30)、オイラー線方向の無限遠点)にあるような点Xの軌跡、つまりXX*がオイラー線と平行になるような点の軌跡である。Xを辺BC, CA, ABで鏡映した点をXA, XB, XCとし、△XAXBXCと△ABCが配景なXの軌跡とも定義される。
ノイベルグ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、フェルマー点、等力点、オイラー無限遠点などを通る。
Berhard GibertのCubics in the Triangle PlaneではK001と登録されている。
三線座標:
重心座標:
トムソン三次曲線はX*が直線GX(Gは重心)上にあるような点Xの軌跡である。
トムソン三次曲線は頂点、内心と傍心、重心、外心、垂心、類似重心、辺の中点などを通る。
Cubics in the Triangle PlaneではK002 として登録されている。
三線座標:
重心座標:
ダルブー三次曲線(Darboux Cubic)はX*が直線LX上(Lはド・ロンシャン点)にあるような点Xの軌跡である。ダルブー三次曲線上のXの垂足三角形はチェバ三角形で、チェバ三角形の元の点はリュカ三次曲線を成す。また、X の垂足三角形はXの反チェバ三角形と配景的で、その配景の中心はトムソン三次曲線を成す。
ダルブー三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ドロンシャン点、頂点の外接円に対する対蹠点などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは K004 として登録されている。
三線座標:
重心座標:
ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線(Napoleon-Feuerbach cubic)はX*が直線NX上(N = X(5),九点円の中心)にある点Xの軌跡である。
ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ナポレオン点などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは K005 として登録されている。
三線座標:
重心座標:
リュカ三次曲線(Lucas cubic)はX のチェバ三角形がダルブ―三次曲線上の点の垂足三角形となるような点Xの軌跡である[3]。
リュカ三次曲線は頂点、反中点三角形の頂点、シュタイナー外接楕円の焦点、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点 などを通る。
Cubics in the Triangle PlaneではK007 として登録されている。
三線座標:
重心座標:
△A'B'C' を第一ブロカール三角形(1st Brocard cubic)、XA, XB, XC.をそれぞれXA′, XB′, XC′と BC, CA, AB,の交点とする。このときXA, XB, XCが共線となるような点Xの軌跡を第一ブロカール三次曲線と言う。
第一ブロカール三次曲線は頂点、第一,第三ブロカール点の頂点、重心、類似重心、シュタイナー点などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは K017として登録されている。
三線座標:
重心座標:
第二ブロカール三次曲線(2nd Brocard cubic)は直線XX*の、X,X*を通る外接円錐曲線に対する極がブロカール軸上にあるような点Xの軌跡である。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、パリー点、第二,第四ブロカール三角形の頂点を通る。
Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K018として登録されている。
三線座標:
重心座標:
1st equal areas cubicはX のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。X*が直線S*X 上(S = X(99),シュタイナー点)にあるような点Xの軌跡とも定義される。
1st equal areas cubicは内心と傍心、シュタイナー点 、第一,第二ブロカール点を通る。
Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K021として登録されている。
三線座標:
重心座標:
2nd equal areas cubicは三線座標で , , とし、XYとXZのチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。
2nd equal areas cubicは内心、重心、類似重心 X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053)などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは K155として登録されている。
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