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幾何学において, 中心線[訳語疑問点](ちゅうしんせん、英: Central lines)とは三角形に対して一意に決まる直線の総称である。中心線はほとんどの場合、三線座標によってあらわすことができる。中心線は三角形の中心とも密接にかかわっている。中心線の概要は1994年のクラーク・キンバーリングの論文でまとめられた[1][2]。
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![]() | このページ名「中心線 (幾何学)」は暫定的なものです。(2024年3月) |
△ABC に対する三線座標x : y : zを用いて、平面上の直線は以下の様に書ける。 ここで三線座標 は三角形の中心である[3][4]。
三角形の中心と中心線の幾何的な結び付けの一つに三線極線(trilinear polars)と等角共役がある。
三線座標で とし の表す直線はXの三線極線と呼ばれる[2][5]。 の表す点はXの等角共役点と呼ばれる。
したがって、次の式で与えられる中心線は点の等角共役点の三線極線である。
△ABCと点Xについて、中心線は以下の様に定義される。
クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」における点Xnに対する中心線はLnと表記される。
内心 X1 = 1 : 1 : 1 (またはI )の中心線は、反垂軸(Antiorthic axis)と呼ばれ、以下の式で表される。
△ABCの重心X2(またはG)の三線座標は以下の様に与えられる。 重心の中心線は以下の式で表される。 この直線はルモワーヌ軸、ルモワーヌ線(Lemoine axis, Lemoine line)と呼ばれる。
外心X3(またはO)の三線座標は以下の様に与えられる。 外心の中心線は以下の式で表される。 この直線を垂軸(Orthic axis)という[7]。
垂心 X4(またはH)の三線座標は以下の様に与えられる。 垂心の中心線は以下の式で表される。
九点円の中心X5(またはN)の三線座標は以下の式で与えられる。 X5の中心線は以下の式で表される。
類似重心 X6(または K)の三線座標は以下の式で与えられる。 類似重心の中心線は以下の式で表される。
△ABCのオイラー線とは重心、外心、垂心、九円点の中心などを通る直線である。オイラー線の三線座標は以下の式で与えられる。 これはX647の中心線である。
△ABCのナーゲル線(Nagel line)とは内心、重心、シュピーカー中心、ナーゲル点などを通る直線である。ナーゲル線の三線座標は以下の式で与えられる。 これはX649の中心線である。
△ABCのブロカール軸(Brocard axis)とは外心と類似重心、ブロカール円の中心などを通る直線である。ブロカール軸の三線座標は以下の式で与えられる。 これはX523の中心線である。
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