等角共役

幾何学において、等角共役（とうかくきょうやく、英:isogonal conjugate,isogonal conjugation）または同角共軛は、三角形△ABCと点Pについて、A, B, Cの角の二等分線で、直線PA, PB, PCを鏡映した線の交点P*のこと、またはPとP*の関係である。

  3本の角の二等分線は内心 Iで交わる

  Pと各頂点を結ぶ直線

  青い線を角の二等分線で鏡映した線（等角共役線）、Pの等角共役点 P*で交わる

三角形の内側の点を等角共役による変換

A, B, Cの角の二等分線で、直線PA, PB, PCを鏡映した線（等角共役線、isogonal lines）が一点で交わることはチェバの定理の逆で示すことができる^[1]。 Pに対して、P*を等角共役、または等角共役点と言う。P*の等角共役点はPである。

例

• 内心と傍心の等角共役点はその点自身である。
• 垂心Hの等角共役点は外心Oである。
• 重心Gの等角共役点は類似重心Kである（類似重心の定義）。
• フェルマー点の等角共役点は等力点である。
• 2つのブロカール点は互いに等角共役である。

性質

三線座標系で、${\displaystyle X=x:y:z}$ とする。ただし${\displaystyle X}$は頂点でないとする。${\displaystyle X}$の等角共役点は${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}}$である。 故に、Xの等角共役点はX ^–1で表されることもある。三角形の中心の集合Sで三線座標の積（trilinear product）は以下の式で定義される。

${\displaystyle (p:q:r)*(u:v:w)=pu:qv:rw,}$

したがってSをアーベル群として見ると、Xの逆元はX ^–1である。

関数としての等角共役として、等角共役は直線や円にも適用できる。直線の等角共役は外接円錐曲線になる。直線が外接円とそれぞれ0,1,2点で交わるとき、その等角共役は楕円、放物線、双曲線となる^[2]。例えばブロカール軸、オイラー線の等角共役はそれぞれキーペルト双曲線、ジェラベク双曲線である。外接円の等角共役は無限遠直線である。

幾つかの有名な三次曲線（ノイベルグ三次曲線や17点3次曲線、McCay Cubic）はXとX ^–1がともに線上にある三次曲線（自己等角共役、self-isogonal-conjugate）である^[3]。

他の定義

等角共役点の2つ目の定義

PをBC, CA, ABで鏡映した点をP_a, P_b, P_cとする。円P_aP_bP_cの中心はPの等角共役点である^[4]。これはPの垂足円の中心が、その等角共役点との中点となるためである。

関連

• 等長共役
• チェバ共役
• Centaral lines
• 三角形の心

参考文献

1. “等角共役点とその証明”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年5月11日閲覧。
2. 齋藤輝. “等角共役とシムソン線の幾何学”. 角川ドワンゴ学園N/S高等学校研究部. 2024年5月12日閲覧。
3. “homepage”. Catalogue_of_Triangle_Cubics. Bernard Gibert. 2024年5月11日閲覧。
4. Steve Phelps. “Constructing Isogonal Conjugates”. GeoGebra. GeoGebra Team. 2022年1月17日閲覧。

外部リンク

• Interactive Java Applet illustrating isogonal conjugate and its properties
• MathWorld
• Pedal Triangle and Isogonal Conjugacy