幾何学 において、チェビアン [1] (英 :Cevian)またはチェバ線 [2] とは三角形 の頂点 とその対辺を結ぶ線分 の総称である[3] [4] 。中線 や角の二等分線 などはチェバ線の特別な場合である。チェバ線に関する有名な定理を発表したジョバンニ・チェバ に由来する[5] 。
3つのチェビアンが共点
図の様に、それぞれの頂点に対するチェビアンが内部の点で交わっているとき、以下の式が成り立つ[7] 。
A
F
¯
F
B
¯
⋅
B
D
¯
D
C
¯
⋅
C
E
¯
E
A
¯
=
1
A
O
¯
O
D
¯
=
A
E
¯
E
C
¯
+
A
F
¯
F
B
¯
;
O
D
¯
A
D
¯
+
O
E
¯
B
E
¯
+
O
F
¯
C
F
¯
=
1
;
A
O
¯
A
D
¯
+
B
O
¯
B
E
¯
+
C
O
¯
C
F
¯
=
2.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {OD}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}+{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}};\\&\\&{\frac {\overline {OD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {OE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {OF}}{\overline {CF}}}=1;\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BO}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CO}}{\overline {CF}}}=2.\end{aligned}}}
最初の式はチェバの定理 である。
中界線
周長を二等分するチェビアンは中界線 (英語版 ) と呼ばれ、ナーゲル点 で交わる。
面積の二等分線
面積を二等分するチェビアンは中線 であり、重心 で交わる。
ラウスの定理 によって三角形 とチェビアンで作られた三角形との比を決定することができる。
△ABC と点P について直線BC ,AP の交点をD 、直線CA ,BP の交点をE ,直線AB ,CP の交点をF とする。このとき、線分AD,BE,CF をチェバ族、チェバ単体という[8] 。また、△DEF をP のチェバ三角形 (Cevian triangle)という[9] [10] [11] 。P の重心座標 をp : q : r とし、D,E,F の重心座標は以下の様に与えられる。
D
=
0
:
q
:
r
,
E
=
p
:
0
:
r
,
F
=
p
:
q
:
0
{\displaystyle D=0:q:r,\quad E=p:0:r,\quad F=p:q:0}
チェバ円
チェバ三角形の外接円 をチェバ円 (cevian circle)という[12] 。
チェバ円共役
△ABC と点P について、P のチェバ三角形を△DEF 、チェバ円をΓ とする。またΓ とBC,CA,AB の、D,E,F でない方の交点をそれぞれA",B",C" とする。このとき、3つのチェビアンAA",BB",CC" は一点で交わる。この3つのチェビアンの交点を、チェバ円共役点 と言い、P とそのチェバ円共役点の関係をチェバ円共役 (Cyclocevian conjugate)という[13] [10] 。またチェバ円共役点のチェバ三角形をチェバ円三角形 (Cyclocevian triangle)と言う。チェバ円共役が成り立つことはテルケムの定理 と呼ばれている。
例
ジェルゴンヌ点は自身とチェバ円共役
重心と垂心はチェバ円共役
P の三線座標 をp : q : r 、a,b,c を三角形の辺の長さとし、チェバ円共役点の三線座標は以下の式で与えられる。
1
a
(
p
2
q
2
+
p
2
r
2
−
q
2
r
2
)
+
2
p
q
r
(
a
p
+
b
q
+
c
r
)
cos
A
:
1
b
(
q
2
r
2
+
q
2
p
2
−
r
2
p
2
)
+
2
p
q
r
(
a
p
+
b
q
+
c
r
)
cos
B
:
1
c
(
r
2
p
2
+
r
2
q
2
−
p
2
q
2
)
+
2
p
q
r
(
a
p
+
b
q
+
c
r
)
cos
C
{\displaystyle {\frac {1}{a(p^{2}q^{2}+p^{2}r^{2}-q^{2}r^{2})+2pqr(ap+bq+cr)\cos A}}:{\frac {1}{b(q^{2}r^{2}+q^{2}p^{2}-r^{2}p^{2})+2pqr(ap+bq+cr)\cos B}}:{\frac {1}{c(r^{2}p^{2}+r^{2}q^{2}-p^{2}q^{2})+2pqr(ap+bq+cr)\cos C}}}
反チェバ三角形
△ABC と点P について、以下の3つの条件を満たす三角形△A'B'C' をP の反チェバ三角形 (Anticevian triangle)または反チェバ単体 という[14] [10] [8] 。反チェバ三角形を成す直線は反チェバ線と言われる。
A'B'C' はそれぞれAP,BP,CP 上にある。
B'C',C'A',A'B' はそれぞれ点A,B,C を通る。
△A'B'C' に対するP のチェバ三角形は△ABC である。
P の三線座標 をp : q : r とし、A',B',C' の三線座標は以下の様に与えられる。
A
′
=
−
p
:
q
:
r
,
B
′
=
p
:
−
q
:
r
,
C
′
=
p
:
q
:
−
r
{\displaystyle A'=-p:q:r,\quad B'=p:-q:r,\quad C'=p:q:-r}
△ABC と任意の点P,Q について、P のチェバ三角形とQ の反チェバ三角形は配景 である。この配景の中心をQ のP チェバ共役点 といい、Q とQ のP チェバ円共役点の関係をチェバ共役 (Ceva conjugate)という[15] [10] [11] 。
例
P の三線座標 をp : q : r 、Q の三線座標をp' : q' : r' とすると、Q のP チェバ共役点の三線座標は以下の式で与えられる。
p
′
(
−
p
′
p
+
q
′
q
+
r
′
r
)
:
q
′
(
−
q
′
q
+
r
′
r
+
p
′
p
)
:
r
′
(
−
r
′
r
+
p
′
p
+
q
′
q
)
{\displaystyle p'(-{\frac {p'}{p}}+{\frac {q'}{q}}+{\frac {r'}{r}}):q'(-{\frac {q'}{q}}+{\frac {r'}{r}}+{\frac {p'}{p}}):r'(-{\frac {r'}{r}}+{\frac {p'}{p}}+{\frac {q'}{q}})}
このように3つの三角形D,E,F について、D がE の、E がF のチェビアン三角形になっていることをチェバ線の入れ子 (Cevian nest)と言う[2] 。チェバ線の入れ子の2組が配景的であるとき、残り1組も配景的である[10] [16] 。
△ABC と任意の点P,Q について、Q の反チェバ三角形を△A"B"C" 、BC,A"P の交点をA' とする。B',C' も同様に定義する。 △ABC と△A'B'C' は配景的であり、配景の中心をP,Q のチェバ点 (cevapoint)という[10] [17] [11] 。このときP はQ のP,Q のチェバ点チェバ共役、Q はP のP,Q のチェバ点チェバ共役と言うことができる。
P の三線座標 をp : q : r 、Q の三線座標をp' : q' : r' とすると、P,Q のチェバ点の三線座標は以下の式で与えられる。
(
p
q
′
+
q
p
′
)
(
p
r
′
+
r
p
′
)
:
(
q
r
′
+
r
q
′
)
(
q
p
′
+
p
q
′
)
:
(
r
p
′
+
p
r
′
)
(
r
q
′
+
q
r
′
)
{\displaystyle (pq'+qp')(pr'+rp'):(qr'+rq')(qp'+pq'):(rp'+pr')(rq'+qr')}
『数学オリンピック幾何への挑戦 ユークリッド幾何をめぐる船旅』日本評論社、2/15、82頁。
Some authors exclude the other two sides of the triangle, see Eves (1963 , p.77) Lightner, James E. (1975). “A new look at the 'centers' of a triangle”. The Mathematics Teacher 68 (7): 612–615. JSTOR 27960289 . Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry , Dover Publishing Co., second revised edition, 1996
Weisstein, Eric W.. “Cevian Triangle ” (英語). mathworld.wolfram.com . 2024年3月21日 閲覧。 “三角形の心 ”. taurus.ics.nara-wu.ac.jp . 2024年7月7日 閲覧。 Weisstein, Eric W.. “Cevian Circle ” (英語). mathworld.wolfram.com . 2024年3月21日 閲覧。 Weisstein, Eric W.. “Ceva Conjugate ” (英語). mathworld.wolfram.com . 2024年3月21日 閲覧。 Weisstein, Eric W.. “Cevapoint ” (英語). mathworld.wolfram.com . 2024年3月21日 閲覧。
Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. One) , Allyn and Bacon
Ross Honsberger (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , pages 13 and 137. Mathematical Association of America.
Vladimir Karapetoff (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." American Mathematical Monthly 36: 476–479.
Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions , Vol 24 (02) , pp. 29–37.