アーネシの曲線

アーネシの曲線（アーネシのきょくせん） (伊: la versiera di Agnesi, 英: witch of Agnesi) またはアーネシの魔女は直交座標における方程式

${\displaystyle y={\frac {c^{3}}{x^{2}+c^{2}}}}$

アーネシの曲線。c = 1（赤）、2（青）、3（緑）

すなわち ${\displaystyle (x^{2}+c^{2})y-c^{3}=0}$ によって表される曲線である。迂池線とも称する^[1]。

18世紀イタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージ（アーネシ）が研究したことからこの名がある。「魔女」というのはイタリア語の versiera（縄）の誤訳であって、意味はない。

アーネシの曲線

原点 O と y 軸上の点 M を結ぶ線分を直径とする円がある。 原点 O から円上の点 A に直線 OA を引く。 直線 OA は M から x 軸と平行に引いた直線と、点 N で交わる。 点 N から線分 OM と平行な直線を引き、これが点 A から x 軸と平行に引いた直線と交わる点を P とする。 A の変化につれて P が描く軌跡が、アーネシの曲線である。

方程式

アーネシの曲線をアニメーションで表現したもの

円の半径を a とすると（c=2a）、曲線の方程式はこうなる。

${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$

a = 1/2 のとき、この方程式は次のとおり単純になる。

${\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}}$

t による媒介変数表示によって、次式で表すこともできる：

${\displaystyle x=2at,\quad y={\frac {2a}{t^{2}+1}}}$

${\displaystyle \theta \,}$ を OM と OA とのなす角（時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。

${\displaystyle x=2a\tan \theta ,\quad y=2a\cos ^{2}\theta }$

${\displaystyle \theta \,}$ を x 軸と OA とのなす角（反時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。

${\displaystyle x=2a\cot \theta ,\quad y=2a\sin ^{2}\theta }$

性質

アーネシの曲線で a=1, a=2, a=4, a=8 としたグラフ

• y 軸に対して線対称であり、x 軸を漸近線とする。
• 変曲点は ${\displaystyle \left(-{\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right),\left({\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)}$ である。

• 曲線と x 軸との間の領域の面積は、元の円の面積の4倍（つまり ${\displaystyle 4\pi a^{2}}$）になる。
• 上の領域の重心は、(0, a/2) である（元の円の重心は (0, a) である）。
• 曲線と x 軸を y 軸の周りに回転させてできる立体の体積は、${\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}$ である。

歴史

この曲線の性質については、ピエール・ド・フェルマー（1630年）、Guido Grandi（伊）（1703年）、マリア・ガエターナ・アニェージ（1748年）の研究が知られている^[2]。

イタリアではこの曲線は la versiera di Agnesi と呼ばれており、その英訳は the curve of Agnesi であるが、ケンブリッジ大学の教授 John Colson の誤訳によって、witch of Agnesi とも呼ばれる^[3][4][5]。

"The Witch of Agnesi" は Robert Spiller による創作小説。