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objet géométrique linéaire constitué d'une ligne courbée et fermée, proposant une forme ronde et parfaite De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En géométrie euclidienne, un cercle est une courbe plane fermée constituée de points situés à égale distance d'un point nommé centre. Cette distance est appelée rayon du cercle.
Cercle | |
Représentation d'un cercle | |
Type | Section conique |
---|---|
Groupe de symétrie | O(2) |
Aire | πR2 |
Périmètre | C = 2πR |
Propriétés | Constructible |
modifier |
Dans le plan euclidien, il s'agit du « rond » qui est associé en français au terme de cercle. Dans un plan non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un espace de dimension quelconque, l'ensemble des points placés à une distance constante d'un centre est appelé sphère.
D'autres formes peuvent être qualifiées de « rondes » : les surfaces et solides dont certaines sections planes sont des cercles (cylindres, cônes, tore, anneau, etc.)[1].
Le cercle est un objet mathématique abstrait, qui peut servir à modéliser de nombreux phénomènes. Un certain nombre d'objets manufacturés ont une section circulaire : cylindres (rouleaux, roues, silos), sphères (ballon, balles, billes), cônes (rouleaux, entonnoirs). Les propriétés du cercle permettent donc de déduire des propriétés des objets, comme leur volume qui permet de déduire la masse de l'objet (connaissant sa masse volumique) ou sa contenance. Les objets de section circulaire sont intéressants pour principalement plusieurs raisons :
Certains objets répondent à plusieurs de ces éléments. Par exemple, le fait qu'un canon soit cylindrique :
Si un objet a une surface courbe, elle peut être localement approchée par un cercle. Ainsi, si l'on connaît les propriétés du cercle, on connaît les propriétés locales de l'objet. C'est ce qui a donné les notions de cercle osculateur, de rayon de courbure et d'harmonique sphérique.
Si l'on dispose des objets ou des personnes en cercle, on sait que l'on peut les atteindre avec le même effort depuis le centre, mais aussi que l'on peut les voir de la même manière, ce qui peut faciliter la surveillance. On peut aussi les désigner en faisant appel à un seul paramètre, la direction ; c'est par exemple l'intérêt des cadrans à aiguille. Cela donne aussi les notions de coordonnées cylindriques et sphériques.
De par sa définition, le cercle euclidien est très simple à tracer : il suffit d'avoir un objet dont les deux extrémités ont une distance constante, une corde tendue par exemple ou une branche (même tordue), ou de manière plus courante un compas. Il est donc simple de tracer un cercle « parfait », ce qui en fait un outil d'étude privilégié pour la géométrie.
Pour des problèmes et des formes plus complexes, on peut faire appel à la notion d'ellipse.
Le cercle peut servir à représenter de manière symbolique des objets « plus ou moins ronds » :
Du point de vue purement symbolique, il représente :
Pendant longtemps, le langage courant a employé le mot « cercle » autant pour nommer la courbe (circonférence) que la surface qu'elle délimite[5]. De nos jours, en mathématiques, le cercle désigne exclusivement la ligne courbe, la surface étant, quant à elle, appelée disque.
Le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre définit le nombre π (Pi).
D'autres termes méritent d’être définis :
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l’équation cartésienne du cercle de centre C (a,b) et de rayon r est :
Cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes.
En mettant y en évidence, on obtient la double équation cartésienne du cercle (en fait une équation pour chaque demi-cercle délimité par le diamètre horizontal) :
Des équations paramétriques possibles du cercle (en fonction du paramètre θ qui exprime ici un angle orienté du vecteur joignant le centre du cercle à un de ses points par rapport au vecteur horizontal unité du repère) sont données par :
soit, pour un cercle centré sur l'origine (0 ; 0) :
et pour le cercle unité :
Grâce au théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle et à sa réciproque, on peut également déterminer une équation pour le cercle C de diamètre [AB] :
La géométrie analytique permet de déterminer l'intersection d'un cercle et d'une droite. Sans perte de généralité, l'origine du repère est le centre du cercle et l'axe des abscisses est parallèle à la droite. Il s'agit alors de résoudre un système de la forme :
donc de chercher les solutions x de
Trois cas se présentent, selon que la distance entre le centre du cercle et la droite est plus grande que le rayon, égale, ou plus petite :
Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité e vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône).
En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts), ou bien simplement avec son centre matérialisé par une croix droite « + » en traits fins. Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle.
La longueur d'un arc de rayon r sous-tendu par un angle au centre α, exprimé en radians, est égale à αr. Ainsi, pour un angle de 2π (un tour complet), la longueur du cercle vaut 2πr.
L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r vaut πr2 ; si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle.
Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour serait délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.
La longueur d'une corde sous-tendue par un angle α est égale à 2r sin(α/2).
On peut exprimer le rayon r d'un cercle, la corde c et la flèche f d'un quelconque de ses arcs, selon deux d'entre eux, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle formé par r – f, c/2 et r qui est l'hypoténuse :
La sinuosité de deux arcs de cercle semblables opposés joints dans le même plan en continûment dérivable est indépendante du rayon du cercle.
La tangente en un point du cercle est la perpendiculaire au rayon en ce point.
Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple, de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).
Considérons un cercle de centre O et un point A extérieur à ce cercle. On cherche une tangente à ce cercle passant par A ; le point de tangence est appelé T.
On utilise le fait que le triangle AOT est rectangle en T. Ce triangle rectangle est donc inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de [AO], ou encore, ce qui est équivalent, que l'hypoténuse a une longueur double de la médiane issue de l'angle droit.
On détermine donc le milieu I de [AO], puis on trace un arc de cercle de centre I et de rayon IO. Cet arc de cercle coupe le cercle aux points de tangence.
La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.
On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.
Prenons sur un cercle trois points A, B et C, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire que [AC] est un diamètre). Alors, le triangle ABC est rectangle en B.
Ceci découle du fait que la médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelée le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle, ou théorème de Thalès (en Allemagne et certains pays anglophones).
Réciproquement, soit A et C deux points diamétralement opposés d'un cercle. Soit B un point du plan tel que ABC soit rectangle en B. Alors B appartient au cercle[6].
Prenons deux points distincts A et B du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a
Pour l'angle au centre , il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C.
Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.
Si M est un point et Γ est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a
Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de M par rapport au cercle.
On peut remarquer que
On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle Γ le produit des mesures algébriques MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours .
Lorsque le point M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle OMT, la puissance de M est MT2.
L'égalité :
est suffisante pour affirmer que la droite (MT) est tangente au cercle.
La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si
alors les quatre points sont cocycliques.
Inscription de cercles, de même rayon, dans un cercle, un triangle équilatéral, un carré[7]
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