From Wikipedia, the free encyclopedia
Isogonaalinen konjugaatti on tason piste kolmiossa olevalle pisteelle , joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa isogonaalisessa pisteessä .[1] Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät ja .[2][3][4][5]
Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit
ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit
Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin.[7] Toisaalta myös
jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden ja olevan toistensa isogonaalisia pisteitä.
Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on
ja isogonaaliset koordinaatit ovat
missä ovat kolmion sivujen pituuksia.[8]
Seuraavat esimerkit merkillisistä pisteistä ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteeja:[7]
Todistetaan isogonaalisen konjugaatin olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle , joka on kolmen kulmanjakajan AA', BB' ja CC' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään AA", BB" ja CC". Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli A → B → C → A. Koska on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta [9]
Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta kirjoittaa Cevan lauseen ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)
ja kolmiosta ensimmäisen osamäärän nimittäjä
Koska kulmat ja ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli , saadaan Cevan lauseen ensimmäisestä osamäärästä
Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin Cevan lauseen osamäärää
ja
ja sijoitetaan tulokset Cevan lauseeseen ja supistetaan
eli
Jotta janat AA", BB" ja CC" leikkaisivat isogonaalisessa pisteessä , tulisi Cevan lauseen ehdot toteutua
Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. Sinilauseesta seuraa
ja
Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa
Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi ja jolloin
Kun tätä verrataan Cevan lauseen yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat ( ja sekä ja ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:
ja
Tämän käänteisluku on vaadittu Cevan lauseen ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.