FI
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Kolmion painopiste

Kolmion painopiste

From Wikipedia, the free encyclopedia

Kolmion painopiste
Sijainti kolmiossaKarteesiset koordinaatitTrilineaariset koordinaatitBarysentriset koordinaatitTeoreemojaLähteetViitteet

Kolmion painopiste tarkoittaa geometriassa kolmion keskijanojen leikkauspistettä. Painopisteen nimitys tulee siitä, että se on samalla myös kolmion muotoisen homogeenisen levyn fysikaalinen painopiste. Painopiste on eräs kolmion merkillisistä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella X 2 . {\displaystyle \scriptstyle X_{2}.} {\displaystyle \scriptstyle X_{2}.} [1] On vielä huomattava, että X 2 {\displaystyle \scriptstyle X_{2}} {\displaystyle \scriptstyle X_{2}} on kolmiolevyn painopiste ja se eroaa Spiekerin painopisteestä X 10 {\displaystyle \scriptstyle X_{10}} {\displaystyle \scriptstyle X_{10}}, joka on kolmiokehikon painopiste.[2]

Thumb
Teräväkulmaisen kolmion keskijanat leikkaavat painopisteessä.

Keskijanat kulkevat aina kolmion sisällä. Sen vuoksi niiden leikkauspiste on myös aina kolmion sisällä ja ne jakavatkin kaikki toisensa suhteessa 1 : 2. Siksi kolmion painopiste on aina melko keskellä kolmiota.[3]

Tasakylkisessä kolmiossa painopiste sijaitsee aina kylkien välisellä halkaisijalla ja tasasivuisessa kolmiossa aivan kolmion keskipisteessä.

Karteesiset koordinaatit

Jos kolmion kärkien koordinaatit ovat A = ( x A , y A ) {\displaystyle \scriptstyle A=(x_{A},y_{A})} {\displaystyle \scriptstyle A=(x_{A},y_{A})}, B = ( x B , y B ) {\displaystyle \scriptstyle B=(x_{B},y_{B})} {\displaystyle \scriptstyle B=(x_{B},y_{B})} ja C = ( x C , y C ) {\displaystyle \scriptstyle C=(x_{C},y_{C})} {\displaystyle \scriptstyle C=(x_{C},y_{C})}, on painopisteen koordinaatit

G = ( 1 3 ( x A + x B + x C ) , 1 3 ( y A + y B + y C ) ) . {\displaystyle G=\left({\tfrac {1}{3}}(x_{A}+x_{B}+x_{C}),\;\;{\tfrac {1}{3}}(y_{A}+y_{B}+y_{C})\right).} {\displaystyle G=\left({\tfrac {1}{3}}(x_{A}+x_{B}+x_{C}),\;\;{\tfrac {1}{3}}(y_{A}+y_{B}+y_{C})\right).}

Trilineaariset koordinaatit

Painopisteen trilineaariset koordinaatit ovat (eri muodoissaan)

1 a   :   1 b   :   1 c = b c   :   a c   :   a b = csc ⁡ α   :   csc ⁡ β   :   csc ⁡ γ {\displaystyle {\frac {1}{a}}\ :\ {\frac {1}{b}}\ :\ {\frac {1}{c}}=bc\ :\ ac\ :\ ab=\csc \alpha \ :\ \csc \beta \ :\ \csc \gamma } {\displaystyle {\frac {1}{a}}\ :\ {\frac {1}{b}}\ :\ {\frac {1}{c}}=bc\ :\ ac\ :\ ab=\csc \alpha \ :\ \csc \beta \ :\ \csc \gamma }.[1]

Barysentriset koordinaatit

Painopisteen barysentriset koordinaatit ovat 1   :   1 :   1 {\displaystyle 1\ :\ 1:\ 1} {\displaystyle 1\ :\ 1:\ 1}.[4]

Kun kolmion keskijanojen kantapisteet yhdistetään, saadaan keskinen kolmio, jonka painopiste on sama kuin alkuperäiselläkin kolmiolla. Piirtämällä keskiselle kolmion sisään keskinen kolmio, ja jatkamalla keskisten kolmioiden rekursiivista piirtämistä, jää painopiste pienenevien kolmioiden sarjan sisälle.[5][6]

Etäisyydet kolmion kärjistä painopisteeseen G toteuttavat yhtälön A G 2 + B G 2 + C G 2 = 1 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) {\displaystyle \scriptstyle AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}={\tfrac {1}{3}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} {\displaystyle \scriptstyle AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}={\tfrac {1}{3}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} [7] Kolmio pysyy fysikaalisesti tasapainossa minkä tahansa janan suhteen, joka kulkee painopisteen kautta.[7]

Kolmiota ympäröivän ympyrän (säde R) keskipiste O ja painopiste G toteuttavat yhtälön O G 2 = R 2 − 1 9 ( a 2 + b 2 + c 2 ) {\displaystyle \scriptstyle OG^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} {\displaystyle \scriptstyle OG^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} [7]

  • Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  • Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  • Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.

Viitteet

  1. [1]
    Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) X(2), Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  2. [2]
    Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) X(10), Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  3. [3]
    Weisstein, Eric W.: Triangle Median (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. [4]
    Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  5. [5]
    Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.14
  6. [6]
    Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. [7]
    Weisstein, Eric W.: Triangle Centroid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
    Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

    Wikiwand in your browser!

    Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

    Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

    Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

    Chrome
    Wikiwand for Chrome
    Edge
    Wikiwand for Edge
    Firefox
    Wikiwand for Firefox

    Sijainti kolmiossa

    Teoreemoja

    Lähteet