Kolmion painopiste

Kolmion painopiste tarkoittaa geometriassa kolmion keskijanojen leikkauspistettä. Painopisteen nimitys tulee siitä, että se on samalla myös kolmion muotoisen homogeenisen levyn fysikaalinen painopiste. Painopiste on eräs kolmion merkillisistä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella ${\displaystyle \scriptstyle X_{2}.}$ ^[1] On vielä huomattava, että ${\displaystyle \scriptstyle X_{2}}$ on kolmiolevyn painopiste ja se eroaa Spiekerin painopisteestä ${\displaystyle \scriptstyle X_{10}}$, joka on kolmiokehikon painopiste.^[2]

Teräväkulmaisen kolmion keskijanat leikkaavat painopisteessä.

Sijainti kolmiossa

Keskijanat kulkevat aina kolmion sisällä. Sen vuoksi niiden leikkauspiste on myös aina kolmion sisällä ja ne jakavatkin kaikki toisensa suhteessa 1 : 2. Siksi kolmion painopiste on aina melko keskellä kolmiota.^[3]

Tasakylkisessä kolmiossa painopiste sijaitsee aina kylkien välisellä halkaisijalla ja tasasivuisessa kolmiossa aivan kolmion keskipisteessä.

Karteesiset koordinaatit

Jos kolmion kärkien koordinaatit ovat ${\displaystyle \scriptstyle A=(x_{A},y_{A})}$, ${\displaystyle \scriptstyle B=(x_{B},y_{B})}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle C=(x_{C},y_{C})}$, on painopisteen koordinaatit

${\displaystyle G=\left({\tfrac {1}{3}}(x_{A}+x_{B}+x_{C}),\;\;{\tfrac {1}{3}}(y_{A}+y_{B}+y_{C})\right).}$

Trilineaariset koordinaatit

Painopisteen trilineaariset koordinaatit ovat (eri muodoissaan)

${\displaystyle {\frac {1}{a}}\$ :\ {\frac {1}{b}}\ :\ {\frac {1}{c}}=bc\ :\ ac\ :\ ab=\csc \alpha \ :\ \csc \beta \ :\ \csc \gamma } .^[1]

Barysentriset koordinaatit

Painopisteen barysentriset koordinaatit ovat ${\displaystyle 1\$ :\ 1:\ 1} .^[4]

Teoreemoja

Kun kolmion keskijanojen kantapisteet yhdistetään, saadaan keskinen kolmio, jonka painopiste on sama kuin alkuperäiselläkin kolmiolla. Piirtämällä keskiselle kolmion sisään keskinen kolmio, ja jatkamalla keskisten kolmioiden rekursiivista piirtämistä, jää painopiste pienenevien kolmioiden sarjan sisälle.^[5][6]

Etäisyydet kolmion kärjistä painopisteeseen G toteuttavat yhtälön ${\displaystyle \scriptstyle AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}={\tfrac {1}{3}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ ^[7] Kolmio pysyy fysikaalisesti tasapainossa minkä tahansa janan suhteen, joka kulkee painopisteen kautta.^[7]

Kolmiota ympäröivän ympyrän (säde R) keskipiste O ja painopiste G toteuttavat yhtälön ${\displaystyle \scriptstyle OG^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ ^[7]