Kolmion ympäri piirretty ympyrä tarkoittaa geometriassa kolmion kärkien kautta kulkevaa ympyrää .[1] [2] kollineaarisia , voidaan niiden kautta piirtää suora. Jos pisteet ovat epäkollineaariset, muodostuu pisteistä kolmio. Koska kolmio on aina konsyklinen , voidaan sen kärkien kautta piirtää ympyrä. Ympyrää kutsutaan myös nimellä ulkoympyrä .[3] [4] [5] [6]
Kolmion ympäri piirretty ympyrä voidaan konstruoiden sivujen keskinormaalien avulla. Keskinormaalit leikkaavat samassa pisteessä, missä on ympyrän keskipiste. Ympyrän keskipiste voi olla kolmion sisä- tai ulkopuolella. Jos kolmio on teräväkulmainen kolmio , on keskipiste kolmion sisäpuolella. Jos kolmio on suorakulmainen kolmio , on keskipiste kolmion hypotenuusalla . Jos kolmio on tylppäkulmainen kolmio , on keskipiste kolmion ulkopuolella.[1]
Teräväkulmaisella kolmiolla keskipiste on kolmion sisällä
Suorakulmaisella kolmiolla keskipiste on hypotenuusalla
Tylppäkulmaisella kolmiolla keskipiste on kolmion ulkopuolella
Koordinaateilla
Jos kolmion kärkien koordinaatit merkitään
P
1
(
x
1
,
y
1
)
,
{\displaystyle \scriptstyle P_{1}(x_{1},y_{1}),}
P
2
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle \scriptstyle P_{2}(x_{2},y_{2})}
P
3
(
x
3
,
y
3
)
{\displaystyle \scriptstyle P_{3}(x_{3},y_{3})}
determinantilla
|
x
2
+
y
2
x
y
1
x
1
2
+
y
1
2
x
1
y
1
1
x
2
2
+
y
2
2
x
2
y
2
1
x
3
2
+
y
3
2
x
3
y
3
1
|
=
0
,
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0,}
[2] joka on evaluoituna
a
(
x
2
+
y
2
)
+
b
x
x
+
b
y
y
+
c
=
0
,
{\displaystyle a(x^{2}+y^{2})+b_{x}x+b_{y}y+c=0,}
[2] missä
a
≡
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
,
{\displaystyle a\equiv {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}},}
x:n kerroin
b
x
{\displaystyle b_{x}}
matriisista
D
=
[
x
1
2
+
y
1
2
x
1
y
1
1
x
2
2
+
y
2
2
x
2
y
2
1
x
3
2
+
y
3
2
x
3
y
3
1
]
{\displaystyle D={\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\\end{bmatrix}}}
jättämällä
x
i
{\displaystyle x_{i}}
b
y
{\displaystyle b_{y}}
b
x
=
−
|
x
1
2
+
y
1
2
y
1
1
x
2
2
+
y
2
2
y
2
1
x
3
2
+
y
3
2
y
3
1
|
{\displaystyle b_{x}=-{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}}
ja
b
y
=
|
x
1
2
+
y
1
2
x
1
1
x
2
2
+
y
2
2
x
2
1
x
3
2
+
y
3
2
x
3
1
|
,
{\displaystyle b_{y}={\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\\\end{vmatrix}},}
ja vakiotermi c
c
≡
−
|
x
1
2
+
y
1
2
x
1
y
1
x
2
2
+
y
2
2
x
2
y
2
x
3
2
+
y
3
2
x
3
y
3
|
.
{\displaystyle c\equiv -{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\\\end{vmatrix}}.}
Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
=
r
2
,
{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2},}
[2] missä keskipisteen koordinaatit ovat
x
0
=
−
b
x
2
a
{\displaystyle x_{0}=-{\frac {b_{x}}{2a}}}
ja
y
0
=
−
b
y
2
a
{\displaystyle y_{0}=-{\frac {b_{y}}{2a}}}
sekä säde
r
=
b
x
2
+
b
y
2
−
4
a
c
2
|
a
|
.
{\displaystyle r={\frac {\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}-4ac}}{2|a|}}.}
[2] Sivujen pituuksilla
Jos kolmion sivujen pituudet merkitään a, b c
R
=
a
b
c
(
a
+
b
+
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
.
{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}}.}
[1] Sivun ja kulman avulla
Jos kolmiosta tunnetaan sivu ja sen vastainen kulma, saadaan Sinilauseesta
R
=
a
2
sin
α
=
b
2
sin
β
=
c
2
sin
γ
.
{\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}.}
[1] [7]
Tasasivuisen kolmion, jonka sivun pituus on a R
R
=
a
3
.
{\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}.}
Tasakylkisellä kolmiolla, jossa kylkien pituudet ovat a b
R
=
a
2
4
a
2
−
b
2
.
{\displaystyle R={\frac {a^{2}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}.}
[1] Suorakulmaisella kolmiolla
Ympyrän säde on puolet hypotenuusan c
R
=
1
2
c
{\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}c}
ja keskipisteen paikka on hypotenuusan keskipisteessä (Thaleen lause ).[1] [8]
Viitteet
Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) Hähkiöniemi, Markus & al.: ”3.3”, Juuri 3 , s. 128. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Otava, 2020. ISBN 978-951-1-36286-9 Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 19
Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 77
Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 98
Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 111
_Circumscribed.svg)
_Circumscribed.svg)
_Circumscribed.svg)
