Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio on geometriassa kolmio, jonka yksi kulma on suora eli 90 astetta.^[1] Suoran kulman viereisiä sivuja kutsutaan kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua hypotenuusaksi.

Suorakulmainen kolmio, missä 90 asteen kulma on kulma C. Sivua c kutsutaan hypotenuusaksi ja sivuja a ja b kateeteiksi.

Yleiset ominaisuudet

Hypotenuusan projektion pituus kateetilla on yhtä pitkä kuin kateetti itse.^[2] Hypotenuusan keskipiste on yhtä etäällä kaikista kolmion kärjistä.^[1]

Suorakulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee aina siinä kolmion kärjessä, jossa on suora kulma.^[3] Jos suoraan kulmaan piirretään kulmanpuolittaja, jää sen kantapiste kolmion keskijanan ja korkeusjanan puoliväliin.^[1]

Pythagoraan lause

Pääartikkeli: Pythagoraan lause

Pythagoraan lauseen havainnollistus. Pythagoraan yhtälössä lauseke a² esitetään sinisen neliön alana, b² punaisen ja c² violetin neliön alana.

Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan (suoran kulman vastaisen sivun) neliö on yhtä suuri kuin muiden sivujen eli kateettien neliöiden summa. Jos hypotenuusan pituus on c ja kateettien a ja b, tämä voidaan ilmaista yhtälöllä

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,}$ ^[1][4][5]

Tämä pätee myös kääntäen: jos kolmion sivut toteuttavat tämän yhtälön, sivujen a ja b välinen kulma on suora. Yhtälö osoittaa myös, että hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion pisin sivu.

Laskukaavoja

Kulmat

Suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat toistensa komplementtikulmia, koska ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }\Leftrightarrow \alpha +\beta =90^{\circ }.}$

Janat

Kateettien a ja b projektiot hypotenuusalla c ovat vastaavasti n ja m.

Piirtämällä suorakulmaisen kolmion ABC perusteella apupiirroksina kaksi suorakulmiota voidaan todeta, että suorakulmioiden alat ovat yhtä suuret eli ab = hc.

Geometrisen keskiarvon lauseen mukaan hypotenuusaa vastaan oleva korkeus on kateettien a ja b projektioiden n ja m keskiverto eli

${\displaystyle {\frac {h}{m}}={\frac {n}{h}}\Leftrightarrow h={\sqrt {mn}}.}$ ^[6]

Kateetti a on hypotenuusan ja hypotenuusalla olevan projektionsa n keskiverto eli ${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{n}}\Leftrightarrow a={\sqrt {nc}}}$ ^[7] eli

${\displaystyle n={\frac {a^{2}}{c}}.}$

Korkeusjanojen pituudet ovat kateetille a ${\displaystyle h_{a}=b}$ ja hypotenuusalle ${\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}},}$ ^[8] mikä johtaa myös muotoon ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.}$

Keskijanojen pituudet ovat kateetille a

${\displaystyle m_{a}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4b^{2}+a^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3b^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-3a^{2}}}}$ ^[8]

ja hypotenuusalle c

${\displaystyle m_{c}={\tfrac {1}{2}}c}$ ^[8]

Kulmanpuolittajat ovat kateetille a

${\displaystyle w_{a}={\frac {\sqrt {2bc(b^{2}+bc)}}{b+c}}}$

ja hypotenuusalle c

${\displaystyle w_{c}={\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}.}$ ^[8]

Ala

Yleisesti kolmion pinta-ala lasketaan kannan a ja korkeuden h avulla

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ah.}$ ^[9]

Suorakulmaisessa kolmiossa kummatkin kateetit a ja b kohtaavat toisensa kohtisuorasti ja toimivat korkeusjanana, jolloin pinta-alan suuruus voidaan ilmoittaa sivujen avulla

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ab.}$ ^[1]

Kun merkitään piirin pituuden puolikasta ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$, tulee suorakulmaisen kolmion pinta-alaksi

${\displaystyle A=(s-a)(s-b).}$

Sisään piirretty ympyrä

Suorakulmaisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b+c}}={\frac {ab}{a+b+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}.}$ ^[10][1]

Säteen lauseke voidaan kirjoittaa myös

${\displaystyle r={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(c-a)(c-b)}}={\tfrac {1}{2}}(a+b-c).}$ ^[1]

Ympäri piirretty ympyrä

Thaleen lause sanoo, että suorakulmaisen kolmion ympäri piirretty ympyrän keskipiste on hypotenuusalla, joka on samalla ympyrän halkaisija.

Thaleen lause sanoo, että puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma. Sen seurauksena kolmio, jonka yksi sivu on ympyrän halkaisijalla ja sen vastainen kärki ympyrän kehällä, on suorakulmainen kolmio. Tämän ympyrän säde on

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\tfrac {1}{2}}c.}$ ^[1]

Ympyrän keskipiste sijaitsee siis hypotenuusan keskipisteessä.^[11] Jos kolmio tämän lisäksi tasakylkinen, tulee säteeksi

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}a{\sqrt {2}}.}$ ^[12]

Ruutupaperilla

Tietynkokoiselle neliöruudutetulle paperille voidaan yleensä piirtää useitakin sellaisia suorakulmaisia kolmioita, joiden kärkipisteet osuvat viivojen risteyskohtiin. Kuten yllä on todettu, suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituutta c vastaava korkeus h saadaan kateettien pituuksien a ja b avulla:

${\displaystyle h={ab \over c}}$

Kun tässä esim. a = 3, b = 4 ja c = 5, saadaan h = 2,4. Piirtämisen helpottamiseksi tämä voidaan kertoa viidellä, jolloin korkeudeksi saadaan 12. Suurennetun kolmion kärkipisteet voidaan nyt asettaa esim. koordinaattipisteisiin (0, 0), (9, 12) ja
(25, 0).

Katso myös

• Trigonometria

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
• Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. (englanniksi)
• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Arkistoitu 28.9.2013. Viitattu 14.12.2012.

Viitteet

1. Weisstein, Eric W.: Right Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
2. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 56
3. Weisstein, Eric W.: Orthocenter (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
4. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 48
5. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 16
6. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 119
7. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 118
8. Seppänen, Raimo et al.: MAOL. (lukion taulukkokirja) Helsinki: Otava, 2006. ISBN 951-1-20607-9
9. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 44
10. Weisstein, Eric W.: Inradius (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
11. Weisstein, Eric W.: Circumcenter (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
12. Weisstein, Eric W.: Circumradius (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)