Kulmanpuolittaja

Kulmanpuolittaja on geometriassa suora tai sen osa, joka jakaa kulman kahteen yhtä suureen osaan.^[1] Tämä voidaan ilmaista myös kulman suuruudella niin, että jaettava kulma on kaksi kertaa sen puolikas.^[2]

Kuva 1: Kulmanpuolittaja (punainen puolisuora AD) jakaa kulman BAC kahteen yhtäsuureen osaan. Kulmanpuolittajan pisteet sijaitsevat yhtä etäällä kummastakin kulman kyljestä. Esimerkiksi piste D on yhtä kaukana pisteistä E ja F, jotka ovat korkeusjanan kantapisteitä.

Kulmassa

Kuva 2: Ensimmäinen kaari (sininen) merkitsee kylkiin yhtä pitkät etäisyydet kärjestä. Toiset kaaret muodostavat yhtä pitkät etäisyydet sivupisteistä (punainen). Punaisten kaarien leikkauspisteiden kautta piirretään suora (musta), joka kulkee kärjen kautta. Musta suora on kulmanpuolittaja.

Jokaisella kulmalla on vain yksi kulmanpuolittaja.^[2] Kulmanpuolittaja on suora, puolisuora tai jana, jonka pisteet ovat yhtä kaukana kulman molemmista kyljistä.^[3] Kulmaan voidaan piirtää ympyrä, jonka säde on tuo etäisyys, ja joka sivuaa molempia kulman kylkiä. Ympyrän keskipiste sijaitsee kulman puolittajalla.

Kulmanpuolittajan konstruktio

Jos käytettävissä on vain viivain ja harppi, voidaan kulmanpuolittaja piirtää geometrisella konstruktiolla seuraavasti. Merkitään kulman molemmille kyljille pisteet kohtiin, jotka ovat yhtä kaukana kulman kärjestä. Nämä pisteet löydetään harpilla vetämällä ympyränkaaren, joka ulottuu kummankin kyljen yli. Lyhennetään harpin sädettä ja piirretään kummastakin pisteestä kulman sisälle uudet kaaret, jotka leikaavat toisensa kahdessa pisteessä. Näiden pisteiden kautta kulkeva suora kulkee myös kärjen kautta ja puolittaa samalla kulman.^[4]

Kolmiossa

Kolmiossa kulmanpuolittaja on suora, joka kulkee kolmion kärjen kautta ja jakaa kolmion kulman kahteen yhtäsuureen kulmaan.^[5] Kulmanpuolittajaksi kutsutaan myös sitä janaa, joka jää kulmanpuolittajasta kolmion sisään.^[1] Janan päätepistettä kolmion sivulla kutsutaan kantapisteeksi.^[6]

Kuva 3: Kulmanpuolittajat kohtaavat kolmion sisällä pisteessä, joka on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste

Kulmanpuolittajien leikkauspiste

Kolmiolla on kolme kulmanpuolittajaa. Ne leikkaavat toisensa pisteessä, joka on samalla kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste,^[7][8][9] joka on yksi kolmion merkillisistä pisteistä.^[10] Sen trilineaariset koordinaatit ovat 1 : 1 : 1.^[11]

Sisään piirretyn ympyrän säde on

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}},}$

missä ${\displaystyle s}$ on kolmion piirin pituuden puolikas eli puolipiiri

${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c).}$ ^[12]

Ympyrä sivuaa kolmion sivuja, jolloin sivuamispisteisiin koskettavat ympyrän säteet ovat sivuihin nähden kohtisuorassa.^[8][13]

Kolmion ala on ${\displaystyle A=rs,}$ missä r on sisään ympyrän säde ja s piirin pituuden puolikas.^[13]

Jos kolmion kaksi kulmanpuolittajaa ovat yhtäpitkät, on kolmio tasakylkinen kolmio.^[14]

Jos verrataan kahden eri kolmion kolmea kulmanpuolittajaa keskenään ja todetaan niiden olevan vastinpareittain yhtäpitkät, ovat itse kolmiotkin yhtenevät.^[15] Ne yhtyvät, koska kolmiot ovat tasasivuiset kolmiot.^[14]

Kuva 4: Kolmion ABC kulma A on jaettu janalla AD kahteen yhtäsuureen kulmaan (yhtäsuuret kulmat on merkitty kahdella pisteellä). Vastainen sivu BC jakautuu viereisten sivujen suhteessa.

Kulmanpuolittajan lause

Kolmion sisäkulman puolittajasuora jakaa vastakkaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Lause koskee myös kolmion ulkokulman puolittajaa.^[10][16][17] Merkitään kolmion ABC (kuva 4) puolitettavaa kulmaa kirjaimella A ja vastaisen sivun kantpistettä D, voidaan kulmanpuolittajan lause kirjoittaa verrannoksi

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}.}$^[10]

Merkitsemällä kolmion sivut ${\displaystyle a=AB}$, ${\displaystyle b=AC}$ ja ${\displaystyle c=BC}$ sekä sivun c osat ${\displaystyle c_{1}=BD}$ ja ${\displaystyle c_{2}=DC}$ (eli ${\displaystyle c=c_{1}+c_{2}}$), voidaan osien pituudet laskea

${\displaystyle BD=c_{1}={\frac {a}{a+b}}\cdot c}$

ja

${\displaystyle DC=c_{2}={\frac {b}{a+b}}\cdot c}$

Lauseen seuraus on, että jos kolmio on tasakylkinen kolmio siten, että viereiset sivut eli kyljet ovat yhtäpitkät eli ${\displaystyle a=b}$, jakaa kulmanpuolittaja vastaisen sivun eli kannan yhtäpitkiin osiin.

Kulmanpuolittajan pituus d on

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {abs(s-c)}}}{a+b}},}$

missä s on kolmion piirin pituuden puolikas.^[18] Etäisyys kärjestä sisään piirretyn ympyrän keskipisteeseen on kulmanpuolittajan pituus vähennettynä ympyrän säde eli ${\displaystyle d-r}$.

Kulmanpuolittaja vektoreilla

Merkitään vektoreilla ${\displaystyle {\bar {a}}={\overline {AB}}}$ ja ${\displaystyle {\bar {b}}={\overline {AC}}}$ ja ${\displaystyle {\bar {c}}={\bar {b}}-{\bar {a}}={\overline {BC}}}$ ja vastakkaisen sivun osat ${\displaystyle {\bar {c}}_{1}={\overline {BD}}}$ ja ${\displaystyle {\bar {c}}_{2}={\overline {DC}}}$ ovat ${\displaystyle {\bar {d}}={\overline {AD}}.}$

${\displaystyle {\bar {c}}_{1}={\frac {a}{a+b}}\cdot {\bar {c}}}$

ja

${\displaystyle {\bar {c}}_{2}={\frac {b}{a+b}}\cdot {\bar {c}}.}$

Sivunpuolittajan vektoriesitys on silloin ^[19]

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {a}}+{\bar {c}}_{1}={\bar {a}}+{\frac {a}{a+b}}\cdot {\bar {c}}}$

eli

${\displaystyle {\bar {d}}={\frac {b}{a+b}}\cdot {\bar {a}}+{\frac {a}{a+b}}\cdot {\bar {b}}.}$

Kulmanpuolittaja analyyttisessa geometriassa

Merkitään kolmion kärkien koordinaatit ${\displaystyle A(x_{a},y_{a})}$ ja ${\displaystyle B(x_{b},y_{b})}$ ja ${\displaystyle C(x_{c},y_{c}).}$ Silloin kolmion kulmanpuolittajan kantapisteen ${\displaystyle D(x,y)}$ koordinaatit ovat ^[20]

${\displaystyle x={\frac {b}{a+b}}\cdot x_{b}+{\frac {a}{a+b}}\cdot x_{c}}$

ja

${\displaystyle y={\frac {b}{a+b}}\cdot y_{b}+{\frac {a}{a+b}}\cdot y_{c}.}$

Katso myös

• Kulman kolmiajako, jossa annettu kulma jaetaan kolmeen yhtäsuureen kulmaan.
• Keskijana eli mediaani kulkee kolmion kärjestä ja jakaa kolmion vastaisen sivun kahtia.

Lähteet

• Väisälä Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Arkistoitu 28.9.2013. Viitattu 14.12.2012.
• Kurittu, Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto.
• Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Angle Bisector (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Angle Bisector Theorem (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Incenter (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Viitteet

1. Weisstein, Eric W.: Angle Bisector (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
2. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 51
3. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 78
4. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 28
5. Weisstein, Eric W.: Incenter (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
6. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 10
7. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 79
8. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 26
9. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 98
10. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 14–15
11. Kimberling, Clark: Trilinear coordinates (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 16.4.2013. (englanniksi)
12. Spiegel: Mathematical Handbook, 1968, s. 6
13. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 109
14. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 111
15. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 12
16. Weisstein, Eric W.: Angle Bisector Theorem (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
17. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 108
18. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 17, Stewartin lauseen sovllus
19. Seppänen, Raimo et al.: Maol, s. 40
20. Seppänen, Raimo et al.: Maol, s. 42