Janan keskipiste

Janan keskipiste on geometriassa jakopiste, joka sijaitsee janalla ja on yhtä etäällä kummastakin janan päätepisteestä. Se voidaan sanoa myös, että keskipiste jakaa janan kahteen osaan, jotka ovat yhtäpitkät.^[1][2] Janalla on vain yksi keskipiste.^[3]

Keskipisteen määrittäminen animaationa. Mustan janan keskipiste sijaitsee punaisen suoran leikkauspisteessä.

Eukidisessa tasossa

Annetulle janalle voidaan merkitä sen keskipiste käyttäen hyväksi pelkästään harppia ja viivainta. Tarvittavat piirroskuviot näyttävät tältä.

Keskipisteen määrittämisen geometrinen konstruktio perustuu ajatukseen, että keskipiste sijaitsee yhtä kaukana janan päätepisteistä. Koska etäisyyttä ei tiedetä, käytetään hyväksi keskinormaalin ominaisuuksia. Keskinormaalin kaikki pisteet sijaitsevat yhtä etäällä janan päätepisteistä. Yksi keskinormaalin pisteistä on janan keskipiste, joka löytyy janan ja keskinormaalin leikkauspisteessä.^[4]

Viedään harpin neula ensin janan toiseen päätepisteeseen ja avataan sille janan pituus viemällä sen kynäpää janan vastakkaiseen päätepisteeseen. Tässä asennossa piirretään puoliympyrän kaari janan ylä- ja alapuolelle. Vaihdetaan harpin neula vastakkaiseen päätepisteeseen, ja vedetään siitä samansäteinen ympyränkaaren puolikas siten, että ensimmäinen ja toinen kaari leikkaavat kahdesti toisensa. Näiden leikkauspisteiden kautta vedetään viivaimella suora, joka leikkaa jaettavan janan puoliksi.^[5]

Analyyttinen geometria

Analyyttisessä geometriassa pisteiden paikat ilmaistaan mitattavilla koordinaateilla. Koordinaatit ilmaisevat paikkaa avaruudessa, jonka ulottuvuus määrää tarvittavien koordinaattien lukumäärän. Kouluopetuksessa tuttu taso vaatii pisteelle kaksi koordinaattia ${\displaystyle (x,y)}$, koska taso on kuin kaksiulotteinen avaruus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Kolmiulotteinen tila ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ vaatii kolme koordinaattia ${\displaystyle (x,y,z)}$ kullekin pisteelle.^[6][7][8]

Lukusuora

Lukusuoraa voidaan pitää euklidisena yksiulotteisena avaruutena ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Kaksi kohtaa x₁ ja x₂ lukusuoralla vastaavat tällöin avaruuden pisteitä ja niiden väli avaruuden janaa. Silloin niiden välinen keskikohta m, joka lasketaan lukujen keskiarvona, on yhtä etäällä kummastakin kohdasta:

${\displaystyle m={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}.}$

Taso

Janan keskipisteen koordinaatit lasketaan päätepisteiden koordinaattien keskiarvona.

Keskipisteen paikan lausekkeet koordinaateilla ilmaistuna.

Tason kaksiulotteinen euklidisessa avaruudessa janan keskipiste ilmaistaan päätepisteiden (x₁, y₁) ja (x₂, y₂) x-koordinaattien keskiarvona ja y-koordinaattien keskiarvona:

${\displaystyle M=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right).}$ ^[1]

Tila ja n-ulotteinen avaruus

Tilan kolmiulotteisessa avaruudessa janan keskipiste lasketaan vastaavasti keskiarvoilla:

${\displaystyle M=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right).}$ ^[1]

Kun avaruuden ulottuvuudet kasvavat lisää, tarvitaan lisää koordinaatteja. Keskipisteen laskutapa säilyy kuitenkin analogisena ja on 'n'-ulotteisessa avaruudessa:

${\displaystyle M=\left({\frac {x_{1_{1}}+x_{1_{2}}}{2}},{\frac {x_{2_{1}}+x_{2_{2}}}{2}},{\frac {x_{3_{1}}+x_{3_{2}}}{2}},\dots ,{\frac {x_{n_{1}}+x_{n_{2}}}{2}}\right).}$

Nimitys

Nimitystä keskipiste käytetään myös esimerkiksi ympyrälle ja kolmiolle, vaikka ne määritellään niille eri tavalla.^[9] Koska näille monissa kielissä on eri nimiä, voidaan suomalaista keskipiste-sanaa pitää kansanomaisena ja sen syvempi merkitys on riippuvainen asiayhteydestä. Tasokuvioiden keskipistettä kutsutaan centroid-tyyppisillä nimillä, koska sillä tarkoitetaan sisäalueen keskusta. Monissa tapauksissa keskustalla on läheinen yhteys painopisteen kanssa.^[10][11][12]

Katso myös

• Keskijana