FI
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Ortokeskus

Ortokeskus

From Wikipedia, the free encyclopedia

Ortokeskus
Sijainti kolmiossaKarteesiset koordinaatitTrilineaariset koordinaatitBarysentriset koordinaatitYmpyräEulerin suoraLähteetViitteetAiheesta muualla

Ortokeskus liittyy geometriassa kolmioihin, jossa kolmion korkeusjanat, tai niiden jatkeet, kohtaavat yhteisessä leikkauspisteessä, ortokeskuksessa. Ortokeskus on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella X 4 . {\displaystyle \scriptstyle X_{4}.} {\displaystyle \scriptstyle X_{4}.} [1][2]

Thumb

Kun neljästä pisteestä, jotka sisältävät kolmion kolme kärkeä ja ortokeskuksen, valitaan mitkä kolme tahansa, muodostuu niistä kolmio, jonka ortokeskuksena on jäljelle jäänyt neljäs piste. Neljästä pisteestä on syntynyt ortosentrinen systeemi.[1]

Ortokeskus sijaitsee kolmion sisällä, jos kolmio on teräväkulmainen, suoran kulman kärjessä, jos kolmio on suorakulmainen, ja ulkopuolella, jos kolmio on tylppäkulmainen.[3][4]

Ortokeskus sijaitsee kolmion Eulerin suoralla, päin­vastaisella puolella kolmion paino­pistettä eli keskijanojen leikkauspistettä kuin kolmion keskinormaalien leikkauspiste. Sen etäisyys kolmion paino­pisteestä on kaksi kertaa paino­pisteen etäisyys kolmion ympäri piirretyn ympyrän keski­pisteestä.[5]

Karteesiset koordinaatit

Korkeusjanojen leikkauspisteen karteesiset koordinaatit voidaan johtaa käyttämällä sitä tietoa, että sanottu piste sijaitsee Eulerin suoralla, toisella puolella keskijanojen leikkauspistettä kuin kolmion keskinormaalien leikkauspiste ja kaksinkertaisella etäisyydellä.[5] Jos siis käytetään keskijanojen leikkauspisteen koordinaateille merkintää (xg, yg) ja keskinormaalien leikkauspisteen koordinaateille (xo, yo), saadaan ortokeskuksen koordinaateille lauseke

x h = 3 x g − 2 x o {\displaystyle x_{h}=3x_{g}-2x_{o}} {\displaystyle x_{h}=3x_{g}-2x_{o}}
y h = 3 y g − 2 y 0 {\displaystyle y_{h}=3y_{g}-2y_{0}} {\displaystyle y_{h}=3y_{g}-2y_{0}}

Sijoittamalla tähän kolmion painopisteen ja keskinormaalien leikkauspisteen koordinaateille johdetut lausekkeet saadaan korkeusjanojen leikkauspisteen koordinaateiksi:

x h = x 1 x 2 ( y 2 − y 1 ) + x 2 x 3 ( y 3 − y 2 ) + x 3 x 1 ( y 1 − y 3 ) + y 1 2 ( y 3 − y 2 ) + y 2 2 ( y 1 − y 3 ) + y 3 2 ( y 2 − y 1 ) x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 1 y 3 {\displaystyle x_{h}={\frac {x_{1}x_{2}(y_{2}-y_{1})+x_{2}x_{3}(y_{3}-y_{2})+x_{3}x_{1}(y_{1}-y_{3})+y_{1}^{2}(y_{3}-y_{2})+y_{2}^{2}(y_{1}-y_{3})+y_{3}^{2}(y_{2}-y_{1})}{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}}} {\displaystyle x_{h}={\frac {x_{1}x_{2}(y_{2}-y_{1})+x_{2}x_{3}(y_{3}-y_{2})+x_{3}x_{1}(y_{1}-y_{3})+y_{1}^{2}(y_{3}-y_{2})+y_{2}^{2}(y_{1}-y_{3})+y_{3}^{2}(y_{2}-y_{1})}{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}}}
y h = y 1 y 2 ( x 1 − x 2 ) + y 2 y 3 ( x 2 − x 3 ) + y 3 y 1 ( x 3 − x 1 ) + x 1 2 ( x 2 − x 3 ) + x 2 2 ( x 3 − x 1 ) + x 3 2 ( x 1 − x 2 ) x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 1 y 3 {\displaystyle y_{h}={\frac {y_{1}y_{2}(x_{1}-x_{2})+y_{2}y_{3}(x_{2}-x_{3})+y_{3}y_{1}(x_{3}-x_{1})+x_{1}^{2}(x_{2}-x_{3})+x_{2}^{2}(x_{3}-x_{1})+x_{3}^{2}(x_{1}-x_{2})}{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}}} {\displaystyle y_{h}={\frac {y_{1}y_{2}(x_{1}-x_{2})+y_{2}y_{3}(x_{2}-x_{3})+y_{3}y_{1}(x_{3}-x_{1})+x_{1}^{2}(x_{2}-x_{3})+x_{2}^{2}(x_{3}-x_{1})+x_{3}^{2}(x_{1}-x_{2})}{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}}}

Trilineaariset koordinaatit

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

sec ⁡ α   :   sec ⁡ β   :   sec ⁡ γ = 1 a ( b 2 + c 2 − a 2 )   :   1 b ( c 2 + a 2 − b 2 )   :   1 c ( a 2 + b 2 − c 2 ) {\displaystyle \sec \alpha \ :\ \sec \beta \ :\ \sec \gamma ={\frac {1}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}\ :\ {\frac {1}{b(c^{2}+a^{2}-b^{2})}}\ :\ {\frac {1}{c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}} {\displaystyle \sec \alpha \ :\ \sec \beta \ :\ \sec \gamma ={\frac {1}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}\ :\ {\frac {1}{b(c^{2}+a^{2}-b^{2})}}\ :\ {\frac {1}{c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}}. [1][6]

Barysentriset koordinaatit

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat tan ⁡ α   :   tan ⁡ β   :   tan ⁡ γ {\displaystyle \tan \alpha \ :\ \tan \beta \ :\ \tan \gamma } {\displaystyle \tan \alpha \ :\ \tan \beta \ :\ \tan \gamma }.[1]

Thumb
Tummansininen kolmio on ortokolmio, jonka sisäisen ympyrän keskipiste yhtyy ortokeskukseen.

Korkeusjanojen kantapisteet voidaan yhdistää uudeksi sisäkolmioksi, jota kutsutaan ortokolmioksi. Sen kulmanpuolittajat yhtyvät korkeusjanoihin ja leikkaavat samassa ortokeskuksessa. Ortokolmion sisään piirrettävän ympyrän keskipiste on tuo samainen ortokeskus.[3][7]

Ortokeskus H on eräs Eulerin suoralle osuvista monista pisteistä. Muita vastaavia antiikin ajoista asti tunnettuja pisteitä ovat kolmion painopiste G ja korkeusjanojen leikkauspiste O.[8] Kollineaarisuuden lisäksi ne sijaitsevat kolmion muodosta riippumatta tasavälein niin, että HG = 2•GO.[9][10][11]

  • Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  • Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  • Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.

Viitteet

  1. [1]
    Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  2. [2]
    Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.115
  3. [3]
    Math Open Reference: Orthocenter of Triangle
  4. [4]
    Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.9
  5. [5]
    Euler line faculty.evansville.edu. Viitattu 25.4.2013.
  6. [6]
    Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.10
  7. [7]
    Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.116
  8. [8]
    Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.24
  9. [9]
    Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25
  10. [10]
    Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.48
  11. [11]
    Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.118
    • http://www.pballew.net/orthocen.html (Arkistoitu – Internet Archive)
    • http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa06/Panapoi/assignment_8/assignment8.htm
    • http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf (Arkistoitu – Internet Archive)
    • http://www.uff.br/trianglecenters/X0004.html (Arkistoitu – Internet Archive)
    • http://books.google.fi/books?id=NIxExnr2EjYC&pg=PA292&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
    Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

    Wikiwand in your browser!

    Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

    Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

    Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

    Chrome
    Wikiwand for Chrome
    Edge
    Wikiwand for Edge
    Firefox
    Wikiwand for Firefox

    Sijainti kolmiossa

    Ympyrä

    Eulerin suora

    Lähteet

    Aiheesta muualla