Ortokeskus

Ortokeskus liittyy geometriassa kolmioihin, jossa kolmion korkeusjanat, tai niiden jatkeet, kohtaavat yhteisessä leikkauspisteessä, ortokeskuksessa. Ortokeskus on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella ${\displaystyle \scriptstyle X_{4}.}$ ^[1][2]

Kun neljästä pisteestä, jotka sisältävät kolmion kolme kärkeä ja ortokeskuksen, valitaan mitkä kolme tahansa, muodostuu niistä kolmio, jonka ortokeskuksena on jäljelle jäänyt neljäs piste. Neljästä pisteestä on syntynyt ortosentrinen systeemi.^[1]

Sijainti kolmiossa

Ortokeskus sijaitsee kolmion sisällä, jos kolmio on teräväkulmainen, suoran kulman kärjessä, jos kolmio on suorakulmainen, ja ulkopuolella, jos kolmio on tylppäkulmainen.^[3][4]

Ortokeskus sijaitsee kolmion Eulerin suoralla, päin­vastaisella puolella kolmion paino­pistettä eli keskijanojen leikkauspistettä kuin kolmion keskinormaalien leikkauspiste. Sen etäisyys kolmion paino­pisteestä on kaksi kertaa paino­pisteen etäisyys kolmion ympäri piirretyn ympyrän keski­pisteestä.^[5]

Karteesiset koordinaatit

Korkeusjanojen leikkauspisteen karteesiset koordinaatit voidaan johtaa käyttämällä sitä tietoa, että sanottu piste sijaitsee Eulerin suoralla, toisella puolella keskijanojen leikkauspistettä kuin kolmion keskinormaalien leikkauspiste ja kaksinkertaisella etäisyydellä.^[5] Jos siis käytetään keskijanojen leikkauspisteen koordinaateille merkintää (x_g, y_g) ja keskinormaalien leikkauspisteen koordinaateille (x_o, y_o), saadaan ortokeskuksen koordinaateille lauseke

${\displaystyle x_{h}=3x_{g}-2x_{o}}$

${\displaystyle y_{h}=3y_{g}-2y_{0}}$

Sijoittamalla tähän kolmion painopisteen ja keskinormaalien leikkauspisteen koordinaateille johdetut lausekkeet saadaan korkeusjanojen leikkauspisteen koordinaateiksi:

${\displaystyle x_{h}={\frac {x_{1}x_{2}(y_{2}-y_{1})+x_{2}x_{3}(y_{3}-y_{2})+x_{3}x_{1}(y_{1}-y_{3})+y_{1}^{2}(y_{3}-y_{2})+y_{2}^{2}(y_{1}-y_{3})+y_{3}^{2}(y_{2}-y_{1})}{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}}}$

${\displaystyle y_{h}={\frac {y_{1}y_{2}(x_{1}-x_{2})+y_{2}y_{3}(x_{2}-x_{3})+y_{3}y_{1}(x_{3}-x_{1})+x_{1}^{2}(x_{2}-x_{3})+x_{2}^{2}(x_{3}-x_{1})+x_{3}^{2}(x_{1}-x_{2})}{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}}}$

Trilineaariset koordinaatit

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

${\displaystyle \sec \alpha \$ :\ \sec \beta \ :\ \sec \gamma ={\frac {1}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}\ :\ {\frac {1}{b(c^{2}+a^{2}-b^{2})}}\ :\ {\frac {1}{c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}} . ^[1][6]

Barysentriset koordinaatit

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat ${\displaystyle \tan \alpha \$ :\ \tan \beta \ :\ \tan \gamma } .^[1]

Ympyrä

Tummansininen kolmio on ortokolmio, jonka sisäisen ympyrän keskipiste yhtyy ortokeskukseen.

Korkeusjanojen kantapisteet voidaan yhdistää uudeksi sisäkolmioksi, jota kutsutaan ortokolmioksi. Sen kulmanpuolittajat yhtyvät korkeusjanoihin ja leikkaavat samassa ortokeskuksessa. Ortokolmion sisään piirrettävän ympyrän keskipiste on tuo samainen ortokeskus.^[3][7]

Eulerin suora

Ortokeskus H on eräs Eulerin suoralle osuvista monista pisteistä. Muita vastaavia antiikin ajoista asti tunnettuja pisteitä ovat kolmion painopiste G ja korkeusjanojen leikkauspiste O.^[8] Kollineaarisuuden lisäksi ne sijaitsevat kolmion muodosta riippumatta tasavälein niin, että HG = 2•GO.^[9][10][11]