Ceviaani

Ceviaani on geometriassa kolmioon liittyvä jana. Se yhdistää kolmion kärjen ja sen vastaisen sivun tai sivun jatkeella olevaan pisteeseen, joka ei kuitenkaan ole kolmion kärkipiste.^[1][2] Sivun kohtaamispistettä kutsutaan kantapisteeksi.

Kolme ceviaania (katkoviivat), jotka leikkaavat toisensa ceviaanipisteessä. Ceviaanit kohtaavat kolmion sivut (mustat) kantapisteissä ja kantapisteet muodostavat ceviaanikolmion (punainen).

Nimi Cevian tai cévienne on alun perin annettu italialaisen Giovanni Cevan kunniaksi. Muunkieliset vastineita nimelle ovat muun muassa engl. Cevian,ransk. Cévienne, kat. Ceviana, gal. Ceviana, ital. Ceviana, puol. Prosta Cevy, port. Ceviana ja ukr. Чевіана. Se ei ole vakiinnuttanut asemaansa suomalaisessa termistössä, mutta muunlaisen nimityksen puuttuessa tätä nimitystä voidaan käyttää suorana käännöksenä.^[3]

Kolmion eri kärjistä lähtevät ceviaanit voivat kaikki leikata toisensa yhteisessä leikkauspisteessä, ceviaanipisteessä. Tällaisen leikkauspisteen olemassaolon voi todeta Cevan lauseen avulla.^[1][4]

Ceviaanin pituus

Ceviaani tapauksessa, jossa sen kantapaiste jakaa vastaisen sivun a osiin x ja y.

Stewartin lauseen mukaan ceviaanin pituus ${\displaystyle p}$ toteuttaa yhtälön ${\displaystyle a(p^{2}+xy)=b^{2}x+c^{2}y,}$ missä ${\displaystyle a,\,b}$ ja ${\displaystyle c}$ ovat kolmion sivuja ja ${\displaystyle x}$ on jaetun sivun ${\displaystyle a}$ kärjen ${\displaystyle B}$ puoleinen osa ja ${\displaystyle y}$ kärjen ${\displaystyle C}$ puoleinen osa. Ceviaanin pituus saadaan tästä ratkaistua

${\displaystyle p={\sqrt {{\frac {b^{2}x+c^{2}y}{a}}-xy}}}$.

Ceviaanien pituuksia

Seuraavissa ceviaanien pituuksien lausekkeissa ${\displaystyle A}$ merkitsee kolmion pinta-alaa, ${\displaystyle \beta }$ ja ${\displaystyle \gamma }$ kolmion sivujen ${\displaystyle b}$ ja ${\displaystyle c}$ vastaisia kulmia sekä ${\displaystyle p}$ kolmion piirin puolikasta eli puolipiiriä. Ne ovat kaikki johdettavissa Stewartin lauseesta.

• Korkeusjanan pituus ${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}={\frac {2A}{a}}=c\sin \beta =b\sin \gamma }$,^[5]
• Kulmanpuolittajan pituus ${\displaystyle w_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {bcp(p-a)}}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {bc(b+c-a)(b+c+a)}}}$ ^[5],
• Keskijanan pituus ${\displaystyle m_{a}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$ ^[5] ja
• Symmediaanin pituus ${\displaystyle L_{a}={\frac {bc}{b^{2}+c^{2}}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$^[6].

Ceviaanin kantapiste

Kantapiste on ceviaanin leikkauspiste kärjen vastaisella sivulla tai sen jatkeella. Jos kantapiste on kolmion sivulla, se jakaa sivun kahteen osaan. Seuraavien ceviaanien kantapisteiden jako-ominaisuuksia:

• Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa eli b : c.^[5]
• Keskijana jakavat vastaisen sivun kahteen yhtäpitkään osaan eli sivun jakosuhde on 1 : 1.^[5]
• Symmediaani jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen neliöiden suhteessa eli b² : c².^[7]

Kun ceviaanien kantapisteet yhdistää toisiinsa, saadaan uusi kolmio, ceviaanikolmio.

Lähteet

• Seppänen, Raimo et al.: MAOL. (lukion taulukkokirja, vihreä) Helsinki: Otava, 1999. ISBN 951-1-16053-2

Viitteet

1. Weisstein, Eric W.: Cevian (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
2. Stahl, Saul: Geometry from Euclid to Knots. Dover Publications, 2011. ISBN 978-0-486-47459-5 , s. 188.
3. Ballew, Pat: Cevian (Arkistoitu – Internet Archive)
4. Weisstein, Eric W.: Ceva's Theorem (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
5. Seppänen, Raimo et al., MAOL (vihreä), s. 28
6. Royster, David C.: luento 16 , University of Kentucky
7. University College Cork: Lemoine Point (Arkistoitu – Internet Archive) (matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia)