Stewartin lause

Geometriassa Stewartin lause kuuluu seuraavasti: Olkoon ABC kolmio jolle AB=c, AC=b ja BC=a. Olkoon lisäksi X piste kolmion sivulla BC jolle BX=x ja XC=y. Jos p on janan AX pituus, on voimassa

${\displaystyle a(p^{2}+xy)=b^{2}x+c^{2}y}$.

Stewartin lauseessa esiintyvät janat ja pisteet

Stewartin lause voidaan todistaa kosinilauseen avulla: Olkoon ${\displaystyle \alpha }$ kulma AXB. Soveltamalla kosinilausetta kolmioon AXB saadaan

${\displaystyle c^{2}=x^{2}+p^{2}-2px\cos \alpha }$ eli

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2px}}.}$

Koska ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha }$, soveltamalla kosinilausetta kolmioon AXC saadaan

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}-y^{2}-p^{2}}{2py}}}$.

Siten

${\displaystyle 2py(x^{2}+p^{2}-c^{2})=2px(b^{2}-y^{2}-p^{2})}$

Jakamalla lauseke puolittain 2p:llä ja järjestelemällä termejä saadaan

${\displaystyle x^{2}y+xy^{2}+p^{2}y+p^{2}x=b^{2}x+c^{2}y}$

eli

${\displaystyle xy(x+y)+p^{2}(x+y)=b^{2}x+c^{2}y}$.

Koska ${\displaystyle a=x+y}$, saadaan

${\displaystyle a(xy+p^{2})=b^{2}x+c^{2}y.\quad \Box }$

Apolloniuksen lause on Stewartin lauseen erikoistapaus.