Kosinilause

Kosinilause on trigonometrian tulos, jonka perusteella on mahdollista määrittää kolmion kulmat, kun sen kaikki sivut tunnetaan tai kolmion tuntematon sivu, kun yksi kolmion kulma ja sen viereiset sivut tunnetaan.

Kolmio, jonka symbolit ovat samat kuin viereisessä kaavassa

Kosinilauseessa ${\displaystyle \gamma }$ on kolmion kulma, ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ ovat kulman viereisten sivujen pituudet ja ${\displaystyle c}$ vastakkaisen sivun pituus. Kaava palautuu Pythagoraan lauseeseen, kun ${\displaystyle \gamma }$ on suora kulma.^[1]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma }$

Todistus

Todistus noudattaa kuvan määrittelyjä

Oletetaan, että kulma ${\displaystyle \gamma }$ on terävä. Olkoon h:n pituus lyhin etäisyys kolmion sivulta b sivujen a ja c yhtymään. Tällöin h voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla:

${\displaystyle {\begin{cases}h^{2}=a^{2}-(b-u)^{2}\\h^{2}=c^{2}-u^{2}\end{cases}}}$

Tästä saadaan ${\displaystyle c^{2}-u^{2}=a^{2}-(b-u)^{2}}$

Yhtälöstä voidaan sievennyksien jälkeen ratkaista ${\displaystyle u}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-u^{2}&=a^{2}-(b^{2}-2bu+u^{2})\\u&={\frac {b^{2}-a^{2}+c^{2}}{2b}}\end{aligned}}}$

Kulman ${\displaystyle \gamma }$ kosini on kuvion mukaan

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\gamma )&={\frac {b-u}{a}}={\frac {\displaystyle {\frac {2b^{2}}{2b}}-\displaystyle {\frac {b^{2}-a^{2}+c^{2}}{2b}}}{a}}\\&={\frac {2b^{2}-b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2ab}}\\&={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\end{aligned}}}$

Yhtälö saadaan muotoon ${\displaystyle 2ab\,\cos(\gamma )=a^{2}+b^{2}-c^{2}}$.

Todistus sujuu samoin, jos kulma ${\displaystyle \gamma }$ on tylppä.

Kosinilause ja vektorit

Kosinilause on vektorikielellä olennaisesti sama asia kuin kahden vektorin erotuksen pituuden lauseke pistetulon avulla laskettuna. Ensimmäisen kuvan merkinnöin ja pistetulon perusominaisuuksia hyväksi käyttäen saadaan:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=|{\overrightarrow {AB}}|^{2}=|{\overrightarrow {CB}}-{\overrightarrow {CA}}|^{2}\\&=({\overrightarrow {CB}}-{\overrightarrow {CA}})\cdot ({\overrightarrow {CB}}-{\overrightarrow {CA}})\\&={\overrightarrow {CB}}\cdot {\overrightarrow {CB}}+{\overrightarrow {CA}}\cdot {\overrightarrow {CA}}-2{\overrightarrow {CB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma \end{aligned}}}$

Pallotrigonometrian kosinilauseet

Kosinilauseen vastineita pallokolmioille ovat pallotrigonometrian ensimmäinen ja toinen kosinilause. Olkoot pallokolmion kulmat a, b ja c. Niiden vastaiset sivut ovat pallon isoympyröitä, ja olkoot niitä vastaavat keskuskulmat A, B ja C. Tällöin ovat voimassa pallotrigonometrian ensimmäinen kosinilause:

${\displaystyle \cos a=\cos b\,\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A}$

ja toinen kosinilause:

${\displaystyle \cos A=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a}$^[2]

Historia

Jo Eukleides todisti Alkeet -teoksessaan kaksi lausetta, jotka merkitykseltään vastaavat kosinilausetta. Niitä hän ei kuitenkaan esittänyt trigonometristen funktioiden vaan kolmion sivuille piirrettyjen neliöiden ja suorakulmioiden pinta-alojen avulla. Nämä ovat II kirjan 12. ja 13. lause:

12. lause: Tylppäkulmaisessa kolmiossa tylppää kulmaa vastapäätä olevan sivun neliö on yhtä suuri kuin tylpän kulman viereisten sivujen neliö ynnä kaksi kertaa sellainen suorakulmio, jonka toisena sivuna on toinen kolmion tylpän kulman viereisistä sivuista, nimittäin se, jota vastaan on piirretty korkeusjana, ja toinen sivu on yhtä pitkä kuin tylpän kulman kärjen sekä mainitun korkeusjanan välinen osa siitä suorasta, joka saadaan jatkamalla mainittua sivua kulman kärjen ulkopuolelle.^[3]

13. lause: Teräväkulmaisessa kolmiossa terävää kulmaa vastapäätä olevan sivun neliö on yhtä suuri kuin terävän kulman viereisten sivujen neliö vähennettynä kaksi kertaa sellaisella suorakulmiolla, jonka toisena sivuna on toinen kolmion terävän kulman viereisistä sivuista, nimittäin se, jota vastaan on piirretty korkeusjana, ja toinen sivu on yhtä pitkän kuin mainitun kulman kärjen sekä mainitun ja korkeusjanan leikkauspisteen välinen osa tästä sivusta.^[4]

Nämä oli esitettävä kahtena erillisenä lauseena, erikseen terävä- ja tylppäkulmaisille kolmioille, koska lauseet esitettiin kuvioiden pinta-alojen avulla ja koska negatiivisia lukuja ei antiikin Kreikassa tunnettu.^[3]

Tylppäkulmainen kolmio 'ABC ja siihen liittyvä sivun AC jatkeeseen nähden kohtisuora jana BH.

Oheiseen kuvion osoittamalla tavalla Eukleideen lause II.12 voidaan nykyaikaisia merkintöjä käyttäen esittää kaavalla

${\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH).}$

Jos kolmion sivuille käytetään merkintöjä ${\displaystyle AB=c,}$ ${\displaystyle CA=b,}$ ${\displaystyle CB=a,}$, saadaan ${\displaystyle CH=a\cos(\pi -\gamma )\ }$${\displaystyle =-a\cos \gamma }$ ja siten ${\displaystyle c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma }$.

Eukleideen aikana lausetta II.13 ei käytetty kolmioiden ratkaisemiseen, mutta myöhemmin sitä käyttivät sillä tavoin tähtitieteellisissä laskuissa 1000-luvulla Al-Biruni ja 1300.luvulla Johannes de Muris.^[5] Eräänlaista pallokolmioiden kosinilauseen muotoilua käyttivät 800-luvulla al-Khwārizmī ja al-Battānī sekä 1400-luvulla Nīlakaṇṭha, joskaan he eivät esittäneet tätä lausetta yleisessä muodossa.^[6]

1200-luvulla persialainen matemaatikko Nasir al-Din Tusi esitti teoksessaan Kitāb al-Shakl al-qattāʴ (Kirja täydellisestä nelikulmiosta) keinon, jolla voitiin määrittää minkä tahansa kolmion kolmas sivu, kun tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma. Tämä suoritettiin piirämällä toisen tuntemattoman kulman kärjestä korkeusjana vastakkaiselle sivulle, minkä jälkeen tehtävä voitiin palauttaa suorakulmaisen kolmion ratkaisemiseen Pythagoraan lauseen avulla. Jos tulos esitetään nykyaikaisilla matemaattisilla merkinnöillä, se voidaan algebrallisesti muuntaa nykyiseksi kosinilauseeksi.^[7]

Noin 200 vuotta myöhemmin toinen persialainen matemaatikko Jamshīd al-Kashī, joka laati aikansa tarkimmat trigonometriset taulukot, kirjoitti eri keinoista kolmioiden ratkaisemiseksi teoksessaan Miftāḥ al-ḥisāb (Aritmetiikan avain, 1427). Siinä hän käytti oleellisesti samaa keinoa kuin al-Ṭūsī, mutta esitti yksityiskohdat tarkemmin seuraavasti: ^[8]

Al-Kashin versio kosinilauseesta tapauksessa, jossa kulma γ on tylppä, esitettynä nykyaikaisilla algebrallisilla merkinnöillä}}

'Toinen tapaus on kun kaksi sivua ja niiden välinen kulma tunnetaan, muut ovat tuntemattomia. Kerrotaan toinen sivuista ensin [tunnetun] kulman sinillä, sitten sen komplementtikulman sinillä, ja vähennetään jälkimmäinen tulo toisesta sivusta, jos se on terävä, tai lisätään se siihen, jos kulma on tylppä. Sen jälkeen tulos korotetaan neliöön, joka lisättään ensimmäisen tuloksen neliöön. Kolmion kolmas sivu saadaan ottamalla tästä summasta neliöjuuri.^[9]

Nykyisillä algebrallisilla merkinnöillä tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

${\displaystyle c={\sqrt {(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}}}}$

kun kulma ${\displaystyle \gamma }$ on terävä, tai

${\displaystyle c={\sqrt {\left(b+a\left|\cos \gamma \right|\right)^{2}+\left(a\sin \gamma \right)^{2}}}}$

kun ${\displaystyle \gamma }$ on tylppä. Jälkimmäisessä tapauksessa katsotaan nykyisin, että ${\displaystyle \cos \gamma }$ on negatiivinen ja näin ollen sen vastaluku ${\displaystyle \cos(\pi -\gamma )=-\cos \gamma }$ positiivinen. Tuohon aikaan sinit ja kosinit kuitenkin käsitettiin janojen pituuksiksi, joten ne eivät voineet olla negatiivisia. Kun yhtälön molemmat puolet korotetaan neliöön, kehitetään binomin neliö polynomiksi ja sovelletaan Pythagoraan lauseen trigonometrista muotoa ${\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1,}$ saadaan nykyinen kosinilause:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=b^{2}-2ba\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\[5mu]&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$

Ranskassa kosinilause tunnetaankin myös nimellä Al-Kashin lause (ransk. théorème d'Al-Kashi).^[10]

Algebrallisin merkinnön kosinilauseen esitti ensimmäisenä François Viète 1500-luvulla. 1800-luvun alussa se voitiin jo kirjoittaa nykyaikaisin algebralisin merkinnöin nykyisessä muodossaan.^[11]

Katso myös

• Sinilause
• Tangenttilause
• Kotangenttilause
• Kolmion ratkaiseminen

Lähteet

1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 213. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
2. ”Trigonometria”, Otavan suuri ensyklopedia, 9. osa (Sukunimi Turbiini), s. 7246. Otava, 1981. ISBN 951-1-05957-2
3. Euclid's Elements, Book II, Proposition 12 David E. Joyce, Clark University. Viitattu 27.8.2024.
4. Euclid's Elements, Book II, Proposition 13 David E. Joyce, Clark University. Viitattu 27.8.2024.
5. E.S. Kennedy, Ahmad Muruwwa: Bīrūnī on the Solar Equation. Journal of Near Eastern Studies, 1958, 17. vsk, nro 2, s. 112-121. JSTOR:542617
6. Glen Van Brummelen: Heavenly mathematics: The forgotten art of spherical trigonometry, s. 98. Princeton University Press, 2012.
7. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī: ”Ch. 3.2: Sur la manière de calculer les côtés et les angles d'un triangle les uns par les autres”, Traité du quadrilatère attribué à Nassiruddinel-Toussy, s. 69. (Ranskaksi kääntänyt Alexandre Pacha) Typographie et Lithographie Osmanié, 1891. ”Annetaan kaksi sivua ja yksi kulma. [...] Että jos annettu kulma on kahden annetun sivun välissä, kuten kulma A on sivujen AB ja AC välissä ja sivu AB ja A tunnetaan, voidaan ratkaista BE. Näin saadaan suorakulmainen kolmio [BEA], josta tunnemme sivun A ja kulman A, jolloin voidaan ratkaista BE ja EA, ja näin palataan yhteen edellisistä tapauksista; toisin sanoen jos BE ja CE ovat tunnetut, voidaan ratkaista BC ja kulma C, kuten olemme selittäneet.” Teoksen verkkoversio. (ranska)
8. Mohammad K. Azarian: Meftab Al-Hesab: A Summary. Missouri Journal of Mathematical Sciences, 2000, 12. vsk, nro 2, s. 75-95. doi:10.35834/2000/1202075 Artikkelin verkkoversio.
9. Nuh Aydin, Hammoudi Lakhdar, Ghada Bakbouk: Al-Kashi's Miftah al-Hisab, Volume II: Geometry, s. 31. Birkhäuser, 2020. doi:/10.1007/978-3-030-61330-3
10. Clifford A. Pickover: The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, s. 106. Sterling Publishing Company, Inc., 2009. Teoksen verkkoversio.
11. esimerkiksi Lazare Carnot: Géométrie de position, s. 202. J.B.M Duprat, 1803. Teoksen verkkoversio.

Aiheesta muualla

• Opetusvideoita aiheesta Opetus.tv-sivustolla
• Erilainen todistus kosinilauseelle Solmussa
• Opetushallitus, etälukio: Kosinilause (Arkistoitu – Internet Archive)