Cevan lause

Cevan lauseella voi geometriassa osoittaa kolmiossa kolmen kulmanjakajan leikkaavan kaikki toisensa yhteisessä pisteessä. Ylemmän kuvan tapauksessa leikkauspiste sijaitsee kolmion sisällä, mutta mikään ei estä leikkauspisteen sijaitsemasta kolmion ulkopuolella. Silloin kulmanjakajien voivat olla mitä tahansa kärkien kautta kulkevia suoria.^[1]

Kolmion ABC:n kulmista vedetään kulmanjakajat kolmion sivuille pisteisiin D, E ja F.

Kun kolmiolle ${\displaystyle \scriptstyle \triangle ABC}$ on merkitty kantapisteet sivulle siten, että A' sijaitsee janalla BC, B' sijaitsee janalla AC ja C' janalla AB, leikkaavat kulmanjakajat AA', BB' ja CC' toisensa yhteisessä pisteessä, mikäli

${\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1.}$ ^[1]

Toinen esitysmuoto, jota käytetään tälle ehdolle, on

${\displaystyle AC'\cdot BA'\cdot CB'=C'B\cdot A'C\cdot B'A.}$ ^[1]

On huomattavaa, että yhtälön janat ovat suunnattuja janoja eli esimerkiksi ${\displaystyle AB=-BA}$. Kun kolmion sivuja luetellaan yhtälöön, tulee ensin valita "kiertosuunta", jota myöten luetellut janat saavat positiivisia arvoja ja jota vastaan luetellut janat saavat negatiivisia arvoja.

Trigonometria

Trigonometrinen versio Cevan lauseesta kuuluu seuraavasti:

Olkoon D, E ja F pisteitä kolmion sivuilla BC, CA ja AB. Tällöin AD, BE ja CF leikkaavat samassa pisteessä jos ja vain jos

${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAD\cdot \sin \angle ACF\cdot \sin \angle CBE}{\sin \angle CAD\cdot \sin \angle BCF\cdot \sin \angle ABE}}=1.}$ ^[2]

Cevan lauseen avulla voidaan siis todistaa useita kolmion kärkien kautta kulkevien suorien leikkaavan samassa pisteessä mikäli onnistutaan laskemaan kolmion sivujen jakosuhteet.

Historia

Varhaisimman säilyneen teoreeman ja sen todistuksen on esittänyt Yusuf ibn Ahmad al-Mu'taman ibn Hūd (kuoli vuonna 1085), joka hallitsi Espanjassa Zaragosassa. Kirjassaan Kitab al-Istikmal (arab. كتاب الإستكمال‎ eli suomeksi "Täydellisyyksien kirja") hän esitti lauseen lähes nykymuodossaan.^[3] Espanjalainen jesuiitta, joka käytti nimeä José Zaragozà, julkaisi Toledossa teoksen Geometría magna in minimis vuonna 1674, missä hän esitteli laajan teorian geometriasta sisältäen todistelut Cevan lauseesta. Zaragozàn todistelut perustuivat eri menetelmään kuin aikalaisellaan italialaisella Giovanni Cevalla.^[4] Hän esitti lauseen todistuksen neljä vuotta myöhemmin vuonna 1678 julkaisemassaan teoksessa De lineis rectis, jossa hän todisti lauseen edellä esitetyssä muodossa. Myöhemmin lause on merkitty hänen nimelleen muodossa Cevan lause.^[1][3][4]

Cevan lauseessa käytetty geometrinen konstruktio ei poikkea kovinkaan paljon Menelaoksen lauseen konstruktiosta. Menelaos (noin 70−140 jaa.), joka vaikutti Egyptin Aleksandriassa, käytti lausettaan todistaakseen muita geometrisia väitteitään. Se lienee tunnettu lause jo tuolloin ja mahdollisesti myös Eukleides (noin 300 eaa.) tunsi Menelaoksen esittämän tuloksen. Voidaan olla varmoja, että Menelaoksen lause on toiminut inspiraationa Cevan lauseen keksijöille.

Katso myös

• Kolmion kulmanjakaja
• Menelaoksen lause

Lähteet

Viitteet

1. Weisstein, Eric W.: Ceva's Theorem (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
2. Yiu, P.: Euclidean Geometry (luentomoniste, s. 96–97) http://math.fau.edu/yiu/Geometry.html. 1998. Florida Atlantic University. Arkistoitu 2.3.2019. Viitattu 25.9.2013.
3. Hogendijk, Jan P.: Al-Mu'taman ibn Hūd, 11th century king of Saragossa and brilliant mathematician. Historia Mathematica, 1995, 22. vsk, nro 1, s. 1–18. Elsevier. doi:10.1006/hmat.1995.1001 Artikkelin verkkoversio. (pdf) Viitattu 4.5.2013. (englanniksi)
4. Gallart, Eduard Recasens: Geometrical studies in 17th century Spain and their counterparts in European mathematics (pdf) 2iceshs.cyfronet.pl. 2009. Arkistoitu 24.1.2009. Viitattu 4.5.2013. (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Menelaus and Ceva sivuilla Math Pages
• Derivations and applications of Ceva's Theorem sivuilla Cut the Knot
• Trigonometric Form of Ceva's Theorem sivuilla Cut the Knot
• Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers
• Clark Kimberling: Conics Associated with a Cevian Nest (Arkistoitu – Internet Archive)
• Warendorff, Jay: Ceva's Theorem
• Experimentally finding the centroid of a triangle with different weights at the vertices: a practical application of Ceva's theorem sivustolla Dynamic Geometry Sketches, Cinderellaa käyttävä dynaamisen geometrian sivusto.