葉狀結構

微分幾何中，葉狀結構（foliation）是n-流形上的等價關係，等價類是連通單射浸入子流形，都具有相同維度p，以實坐標空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的分解為標準嵌入子空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$的陪集${\displaystyle x+\mathbb {R} ^{p}}$為模型。等價類稱作葉狀結構的葉（leaf）。^[1]若要求流形和/或子流形具有（${\displaystyle C^{r}}$類的）分段線性、微分或解析結構，就可分別定義分段線性、微分、解析葉狀結構。在最重要的${\displaystyle C^{r}}$類微分葉狀結構中，通常r ≥ 1（否則${\displaystyle C^{0}}$就是拓撲葉狀結構）。^[2]p（葉的維度）稱作葉狀結構的維度，${\displaystyle q=n-p}$稱作其余維數。

里布葉狀結構的2維截面

里布葉狀結構的3維模型

在數學物理學家關於廣義相對論的一些論文中，「葉狀結構」用於描述：相關的洛倫茲流形（(p+1)維時空）分解為p維超平面，指定為梯度處處不為零的實值光滑函數（純量場）的水平集；這光滑函數通常被假定為時間函數，梯度處處類時間，因此其水平集都是類空間超平面。為與標準數學術語保持一致，這些超平面通常稱作葉狀結構的葉。^[3]注意，雖然這情形確實構成標準數學意義上的余維-1葉狀結構，但這類例子是全局平凡的。雖然（數學）余維-1葉狀結構的葉局部上總是函數的水平集，但一般不能在全局這樣表達，^[4][5]因為葉可能無限多次通過局部平凡化坐標圖，葉周圍的完整也可能阻礙葉的全局一致定義函數的存在。例如，雖然3-球面有一個由里布發現的余維1-葉狀結構，但閉流形的余維-1葉狀結構不能由光滑函數的水平集給出，因為閉流形上的光滑函數必然在最值點有臨界點。

葉狀結構好比是一種給流形穿的條紋織物的衣服。在流形的每個足夠小的片上，這些條紋給了流形一個局部乘積結構，不需在局部區域之外一致（不用有良定義的整體結構）：沿著一個條紋走足夠遠，可能回到不同的鄰近的條紋。

葉狀圖與圖冊

為給葉狀結構下精確定義，需先定義一些輔助元素。

3維葉狀圖（foliated chart），n = 3、q = 1。斑（plaque）是2維的，橫截（transversal）是1維的。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的矩鄰域是形式為${\displaystyle B=J_{1}\times \cdots \times J_{n}}$的開子集，其中${\displaystyle J_{i}}$是第i個坐標軸上（可能無界）的相對開區間。若${\displaystyle J_{1}}$具有形式${\displaystyle (a,\ 0]}$，則稱B具有邊界^[6]

${\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.}$

在下面的定義中，坐標圖（coordinate chart）被認為是在${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$，允許流形具有邊界和（凸）角的可能。

n-流形M上余維為q的葉狀圖（foliated chart）是${\displaystyle (U,\ \varphi )}$，其中${\displaystyle U\subset M}$是開集，${\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }}$是微分同胚，${\displaystyle B_{\pitchfork }}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$中的矩鄰域，${\displaystyle B_{\tau }}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$中的矩鄰域。集合${\displaystyle P_{y}=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times \{y\})}$，其中${\displaystyle y\in B_{\pitchfork }}$稱作這葉狀圖的斑（plaque）。${\displaystyle \forall x\in B_{\tau }}$，集合${\displaystyle S_{x}=\varphi _{x}=\varphi ^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork })}$稱作葉狀圖的橫截（transversal）。集合${\displaystyle \partial _{\tau }U=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times (\partial B_{\pitchfork }))}$稱作U的切邊界（tangential boundary），${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U=\varphi ^{-1}((\partial B_{\tau })\times B_{\pitchfork })}$稱作U的橫截邊界（transverse boundary）。^[7]

葉狀圖是所有葉狀結構的基本模型，斑就是葉。${\displaystyle B_{\tau }}$表示「B-切」，${\displaystyle B_{\pitchfork }}$表示「B-截」。還有多種可能。若${\displaystyle B_{\pitchfork },\ B_{\tau }}$都有空邊界，則葉狀圖就建模了無界n-流形的余維-q葉狀結構。若其中一個矩鄰域有界，則葉狀圖建模了有界無角n-流形的葉狀結構的各種可能性。具體來說，若${\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }}$，則${\displaystyle \partial U=\partial _{\tau }U}$是斑之並，斑表示的葉狀結構切於邊界。若${\displaystyle \partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }}$，則${\displaystyle \partial U=\partial _{\pitchfork }U}$是橫截之並，葉狀結構橫截於邊界。最後，若${\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }}$，則建模了葉狀流形（foliated manifold），角分開了切邊界與橫截邊界。^[7]

(a) 與邊界相切的葉狀結構${\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }}$； (b) 與邊界相截的葉狀結構${\displaystyle \partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }}$； (c) 角將切邊界與橫截邊界隔開的葉狀結構${\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }}$。

n-流形M上余維為q的${\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )}$類葉狀圖冊（foliated atlas）是余維為q的葉狀圖的${\displaystyle C^{r}}$-圖冊${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}}$，只要P、Q在${\displaystyle {\mathcal {U}}}$的不同圖中都是斑，P ∩ Q在P、Q中都是開的，它們就是相干葉狀結構（coherently foliated）。^[8]

重新表述相干葉狀圖的有效方法是將${\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$寫作：^[9]

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.}$

${\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })}$常寫作${\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })}$，其中^[9]

${\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),}$

${\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).}$

在${\displaystyle \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$上，坐標公式可改寫為^[9]

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).}$

${\displaystyle U_{\alpha }}$的每個斑都會遇到${\displaystyle U_{\beta }}$的2個斑。

${\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }),\ (U_{\beta },\ x_{\beta },\ y_{\beta })}$是相干葉狀結構這一條件意味著，若${\displaystyle P\subset U_{\alpha }}$是斑，則${\displaystyle P\cap U_{\beta }}$的連通分量位於${\displaystyle U_{\beta }}$的（可能不同的）斑中。等價地，由於${\displaystyle U_{\alpha },\ U_{\beta }}$的斑分別是橫坐標${\displaystyle y_{\alpha },\ y_{\beta }}$的水平集，${\displaystyle \forall z\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$都有鄰域，其中公式

${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })}$

與${\displaystyle x_{\beta }}$無關。^[9]

葉狀圖冊的主要用處是將重疊的斑連接起來，形成葉狀結構；上述一般定義顯得有點笨拙，一個問題是，${\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })}$的斑可以與多個${\displaystyle (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })}$的斑相遇。甚至可能出現，一個圖的斑與另一圖的無窮多個斑相遇。不過，如下所示，假設情形更規則，也不失一般性。

若${\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}}$是葉狀${\displaystyle C^{r}}$圖冊，則M上兩具有相同餘維和光滑度的${\displaystyle C^{r}}$類葉狀圖冊${\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}$是相干的：${\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)}$。葉狀圖冊的相干是等價關係。^[9]

證明 [9]

自反關係和對稱關係是直接的。要證傳遞關係，令${\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {V}}\thickapprox {\mathcal {W}}}$。令${\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })\in {\mathcal {U}},\ (W_{\lambda },\ x_{\lambda },\ y_{\lambda })\in {\mathcal {W}}}$，並假設有點${\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }}$。擇${\displaystyle (V_{\delta },\ x_{\delta },\ y_{\delta })\in {\mathcal {V}}}$，使得${\displaystyle w\in V_{\delta }}$。根據上述說明，w有屬於${\displaystyle U_{\alpha }\cap V_{\delta }\cap W_{\lambda }}$的鄰域，使得 ${\displaystyle y_{\delta }=y_{\delta }(y_{\lambda })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\lambda }(N),}$ ${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\delta })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N),}$ 由此 ${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }\left(y_{\delta }(y_{\lambda })\right)\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N).}$ 由於${\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }}$是任意的，可以總結${\displaystyle y_{\alpha }(x_{\lambda },\ y_{\lambda })}$局部依賴於${\displaystyle x_{\lambda }}$。於是可以證明${\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {W}}}$，因為相干是可傳遞的。[10]

規則葉狀圖冊中的圖。

上面定義的開集上的斑與橫截也是開的。不過，我們也可以談論閉的斑與橫截：若${\displaystyle (U,\ \varphi ),\ (W,\ \psi )}$都是葉狀圖，使得${\displaystyle {\overline {U}}}$（U的閉包）是W的子集，${\displaystyle \varphi =\psi |U}$；則，若${\displaystyle \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },}$可知${\displaystyle \psi |{\overline {U}}}$，寫作${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$，將${\displaystyle {\overline {U}}}$微分同胚地帶到${\displaystyle {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.}$

符合以下條件的葉狀圖冊稱作規則的（regular）：

1. ${\displaystyle \forall \alpha \in A,\ {\overline {U}}_{\alpha }}$是葉狀圖${\displaystyle (W_{\alpha },\ \psi _{\alpha })}$的緊子集，且${\displaystyle \varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }|U_{\alpha }}$；
2. 覆蓋${\displaystyle \{U_{\alpha }|\alpha \in A\}}$是局部有限的；
3. 若${\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha }),\ (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })}$都是葉狀圖冊的元素，則每個閉斑${\displaystyle P\subset {\overline {U}}_{\alpha }}$的內部與最多與${\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }}$中的1個斑相遇。^[11]

根據性質 (1)，坐標${\displaystyle x_{\alpha },\ y_{\alpha }}$延伸到${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$上的坐標${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha },\ {\overline {y}}_{\alpha }}$，可以寫成${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).}$性質 (3)等價於要求：若${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }$，橫坐標變化${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$獨立於${\displaystyle {\overline {x}}_{\beta }.}$即

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)}$

有公式^[11]

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).}$

類似論斷也適於開圖（無覆蓋線）。橫坐標映射${\displaystyle y_{\alpha }}$可視作浸沒

${\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$

公式${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\beta })}$可視作微分同胚

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).}$

它們滿足上循環條件，即，在${\displaystyle y_{\delta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\delta })}$上，

${\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }}$

尤其是，^[12]

${\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.}$

用上述關於相干性和規則性的定義，可證明每個葉狀圖冊都有規則的相干細化。^[13]

證明 [13]

固定M上的一個度量核一個葉狀圖冊${\displaystyle {\mathcal {W}}.}$傳遞到子覆蓋，如有必要，可假設${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=1}^{l}}$有限。令ε > 0是${\displaystyle {\mathcal {W}}}$的勒貝格數，即直徑< ε的${\displaystyle \forall \subset X\subseteq M}$都完全位於某個${\displaystyle W_{j}}$中。${\displaystyle \forall x\in M}$，擇j使得${\displaystyle x\in W_{j}}$、擇葉狀圖${\displaystyle (U_{x},\ \varphi _{x})}$使得 ${\displaystyle x\in U_{x}\subseteq {\overline {U}}_{x}\subset W_{j},}$ ${\displaystyle \varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x},}$ ${\displaystyle {\rm {diam}}(U_{x})<\varepsilon /2.}$ 設${\displaystyle U_{x}\subset W_{k}\ (k\neq j)}$，並照常記${\displaystyle \psi _{k}=(x_{k},\ y_{k})\ (y_{k}:\ W_{k}\to \mathbb {R} ^{q})}$是橫坐標映射。這是浸沒，以${\displaystyle W_{k}}$中的斑為水平集。因此，${\displaystyle y_{k}}$限制到浸沒${\displaystyle y_{k}:\ U_{x}\to \mathbb {R} ^{q}.}$ 這在${\displaystyle x_{j}}$中是局部為常的；因此，若有必要可以選擇較小的${\displaystyle U_{x}}$，假定${\displaystyle y_{k}|{\overline {U}}_{x}}$以${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$的斑為水平集。即，${\displaystyle W_{k}}$的斑最多與${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$的一個（緊）斑相遇（因此包含）。由於1 < k < l < ∞，可以擇${\displaystyle U_{x}}$，使得只要${\displaystyle U_{x}\subset W_{k}}$，${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$的不同斑就位於${\displaystyle W_{k}}$的不同斑中。傳遞到${\displaystyle \{(U_{x},\ \varphi _{x})|x\in M\}}$的有限子圖冊${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{N}}$。若${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq 0,\ {\rm {diam}}(U_{i}\cup U_{j})<\varepsilon }$，於是存在索引k使得${\displaystyle {\overline {U}}_{i}\cup {\overline {U}}_{j}\subseteq W_{k}}$。${\displaystyle {\overline {U}}_{i}}$的不同斑（分別是${\displaystyle {\overline {U}}_{j}}$的不同斑）位於${\displaystyle W_{k}}$的不同斑中。因此${\displaystyle {\overline {U}}_{i}}$的每個斑內部最多與${\displaystyle {\overline {U}}_{j}}$的一個斑相交，反之亦然。根據構造，${\displaystyle {\mathcal {U}}}$是${\displaystyle {\mathcal {W}}}$的相干細化，是規則葉狀圖冊。 若M非緊，局部緊性和第二可數性允許我們選擇緊子集序列${\displaystyle \left\{K_{i}\right\}_{i=0}^{\infty }}$，使得${\displaystyle \forall i\geq 0,\ M=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i},\ K_{i}\subset {\rm {int}}K_{i+1}}$。傳遞到子圖集，假定${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{\infty }}$可數，且可找到嚴格遞增正整數列${\displaystyle \left\{n_{l}\right\}_{l=0}^{\infty }}$使${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{n_{l}}}$是${\displaystyle K_{l}}$的覆蓋。令${\displaystyle \delta _{l}}$表示${\displaystyle K_{l}}$到${\displaystyle \partial K_{l+1}}$的距離，並擇${\displaystyle \varepsilon _{l}>0}$，小到對於${\displaystyle l\geq 1,\ \varepsilon _{0}<\delta _{0}/2}$，都有${\displaystyle \varepsilon _{l}<{\rm {min}}\{\delta _{l}/2,\ \varepsilon _{l-1}\}}$（${\displaystyle \varepsilon _{l}}$是${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}}$（作為${\displaystyle K_{l}}$的開覆蓋）與${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}}$（作為${\displaystyle K_{l+1}}$的開覆蓋）的勒貝格數）。更確切地說，若${\displaystyle X\subset M}$與${\displaystyle L_{l}}$相遇（或${\displaystyle K_{l+1}}$），且${\displaystyle {\rm {diam}}X<\varepsilon _{l}}$，則X位於${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}}$的某個元素中（或${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}}$）。${\displaystyle \forall x\in K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}}$，與緊情形一樣構造${\displaystyle (U_{x},\ \varphi _{x})}$，要求${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$是${\displaystyle W_{j}}$的緊子集，且${\displaystyle \forall j\leq n_{l},\ \varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x}}$。同時，要求${\displaystyle {\rm {diam}}{\overline {U}}_{x}<\varepsilon _{l}/2}$。和之前一樣，傳遞到${\displaystyle K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}}$的有限子覆蓋${\displaystyle \left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=n_{l-1}+1}^{n_{l}}}$（此處取${\displaystyle n_{-1}=0}$。）這樣就創造了規則葉狀圖冊${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}$，細化了${\displaystyle {\mathcal {W}}}$並與${\displaystyle {\mathcal {W}}}$相干。

葉狀結構的定義

根據實現葉狀結構的方式，有幾種不同的定義。最常見方式是通過流形分解，得到

通過坐標函數${\displaystyle x:\ U\to \mathbb {R} ^{n}}$分解

定義 n維流形M的p-維${\displaystyle C^{r}}$類葉狀結構是將M分解為不交連通子流形${\displaystyle \{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$的並，稱作葉狀結構的葉（leaf），具有如下性質：M的點都有鄰域U和局部${\displaystyle C^{r}}$類坐標系${\displaystyle x=(x^{1},\ \ldots ,\ x^{n}):\ U\to \mathbb {R} ^{n}}$，使得對每片葉${\displaystyle L_{\alpha }}$，${\displaystyle U\cap L_{\alpha }}$的組分都由方程組${\displaystyle x^{p+1}={\text{常数}},\ \ldots ,\ x^{n}={\text{常数}}}$描述。則，葉狀結構記作${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.}$^[5]

葉的概念可以讓我們直觀地思考葉狀結構。若用稍微幾何化的定義，n維流形M的p維葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$也許可簡單視作M的逐對不交、連通浸沒的p維子流形（葉狀結構的葉）的集合${\displaystyle \{M_{a}\}}$，使得對點${\displaystyle \forall x\in M}$，都有圖${\displaystyle (U,\varphi )}$，其中U同胚於${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$，包含的x使得對每片葉${\displaystyle M_{a}}$，與U相遇或為空集或為子空間的可數集，其在${\displaystyle \varphi (M_{a}\cap U)}$中${\displaystyle \varphi }$的像下是前n-p個坐標為常數的p維仿射子空間。

葉狀結構局部上都是浸沒，允許下列定義

定義 令M、Q是n維流形，q≤n，並令${\displaystyle f:\ M\to Q}$是浸沒，即假設函數微分矩陣（雅可比矩陣）的秩為q，則據隱函數定理，ƒ在M上誘導了余維為q的葉狀結構，其中的葉定義為${\displaystyle x\in Q,\ f^{-1}(x).}$^[5]

這定義描述了n維流形M的p維葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$，是由圖（chart）${\displaystyle U_{i}}$與下列映射覆蓋的：

${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$

這樣，對重疊對${\displaystyle U_{i},\ U_{j}}$，轉移函數${\displaystyle \varphi _{ij}:\ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$定義為

${\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}}$

形式為

${\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))}$

其中x表示前${\displaystyle q=n-p}$個坐標，y表示後p個坐標（co-ordinates），即

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}}$

將轉移函數${\displaystyle \varphi _{ij}}$拆分為${\displaystyle \varphi _{ij}^{1}(x),\ \varphi _{ij}^{2}(x,y)}$，作為浸沒的一部分完全類似於將${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }}$拆分為${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right),\ {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$，作為規則葉狀圖冊定義的一部分。這使得可以用規則葉狀圖冊定義葉狀結構成為可能。為此，必須首先證明，余維度為q的規則葉狀圖冊都與唯一的余維度為q的葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相關聯。^[13]

證明[13]

令${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{a},\varphi _{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$是余維為q的規則葉狀圖冊。在M上定義等價關係：x ~ y，若且唯若${\displaystyle \exists {\mathcal {U}}}$-斑${\displaystyle P_{0}}$使得${\displaystyle x,\ y\in P_{0}}$，或有${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑的序列${\displaystyle L=\{P_{0},\ P_{1},\ \dots ,\ P_{p}\}}$使得${\displaystyle x\in P_{0},\ y\in P_{p},\ P_{i}\cap P_{i-1}\neq \varnothing \ (1\leq i\leq p)}$成立。稱序列L為連接x、y的長p的斑鏈。${\displaystyle x,\ y\in P_{0}}$時，可以說${\displaystyle \{P_{0}\}}$是連接x、y的長度為0的斑鏈。~是等價關係，這很清楚；同樣明顯的是，等價類L都是斑的並。由於${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑只能在彼此的開子集中相互重疊，所以L在局部是維度為n-q的拓撲浸入（immerse）子流形。斑${\displaystyle P\subset L}$的開子集在L上構成了n-q維的局部歐氏拓撲的基，L在這拓撲中顯然是連通的。要檢驗L是否為豪斯多夫空間也是平凡的，主要問題是要證明L第二可數。由於斑都是第二可數的，所以對L只需證L中${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑集最多為可數無窮。固定一個這樣的斑${\displaystyle P_{0}}$，根據規則葉狀圖冊的定義，其只與有限多個其他斑相遇。即，只有有限多長1的斑鏈${\displaystyle \{P_{0},\ P_{i}\}}$。歸納始於${\displaystyle P_{0}}$的p長斑鏈，同樣可證明長度≤ p的斑鏈只有有限多條。根據~的定義，L中所有${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑都可通過始於${\displaystyle P_{0}}$的有限斑鏈抵達，因此可得上述論斷。

正如證明所示，葉狀結構的葉是長度 ≤ p的斑鏈的等價類，也是拓撲浸入豪斯多夫p維子流形。接著，我們將證明葉上斑的等價關係可用相干葉狀圖冊的等價來表示，即它們與葉狀結構的聯繫。更具體地說，若${\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}$是M上的葉狀圖冊、且若${\displaystyle {\mathcal {U}}}$與葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相關聯，則若且唯若${\displaystyle {\mathcal {V}}}$也與${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相關聯時，${\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}$相干。^[10]

證明[10]

若${\displaystyle {\mathcal {V}}}$也與${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相關聯，則每片葉L都是${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-斑與${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑的並。這些斑在L的流形拓撲中是開子集，因此交於彼此的開子集。由於斑是連通的，所以不在同一片葉的${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑不能交${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-斑；因此葉狀圖冊是相干的。反之，若只知道${\displaystyle {\mathcal {U}}}$與${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相關聯、${\displaystyle {\mathcal {V}}\approx {\mathcal {U}}}$，令Q是${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-斑。若L是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的葉，且${\displaystyle w\in L\cap Q\ (w\in P)}$，令${\displaystyle P\in L}$是${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑，則${\displaystyle P\cap Q}$是w在Q中的開鄰域，且${\displaystyle P\cap Q\subset L\cap Q}$。由於${\displaystyle w\in L\cap Q}$是任意的，可知${\displaystyle L\cap Q}$是開的；由於L也是任意的葉，所以Q可分解為不交的開子集，每個都是Q與${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中某葉的交。又由於Q連通，${\displaystyle L\cap Q=Q.}$最後，Q也是任意的${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-斑，所以${\displaystyle {\mathcal {V}}}$與${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相關聯。

現在很明顯，M上的葉狀結構與葉狀圖冊間的關聯關係產生了M的葉狀結構集同葉狀圖冊的相干類集之間的一一對應，換句話說，M上余維為q的${\displaystyle C^{r}}$類葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是余維為q的${\displaystyle C^{r}}$類葉狀圖冊的相干類。^[14]據佐恩引理，葉狀圖冊相干類顯然包含唯一的最大葉狀圖冊。於是，

定義 M上余維為q的${\displaystyle C^{r}}$類葉狀結構是M上余維為q的最大葉狀${\displaystyle C^{r}}$-圖冊。^[14]

實踐中，通常用較小的葉狀圖冊表示葉狀結構，通常還要求是規則的。

在圖${\displaystyle U_{i}}$中，條紋${\displaystyle x={\text{常数}}}$與別的圖${\displaystyle U_{j}}$上的條相匹配。這些子流形在圖之間拼接成最大連通單射浸入子流形，就是葉狀結構的葉（leaf）。 若縮小圖${\displaystyle U_{i}}$，可以寫成${\displaystyle U_{ix}\times U_{iy}}$，其中${\displaystyle U_{ix}\subset \mathbb {R} ^{n-p},\ U_{iy}\subset \mathbb {R} ^{p}.\ \ U_{}iy}$與斑同構，${\displaystyle U_{ix}}$的點參數化了${\displaystyle U_{i}}$中的斑。若擇${\displaystyle y_{0}\in U_{iy}}$，則${\displaystyle U_{ix}\times \{y_{0}\}}$是${\displaystyle U_{i}}$的子流形，與每個斑恰交一次，這叫做葉狀結構的局部橫截面。注意，由於單值性的原因，全局橫截面可能不存在。

r = 0的情形比較特殊。實踐中出現的${\displaystyle C^{0}}$葉狀結構通常是「光滑葉」。更確切地說，是以下意義的${\displaystyle C^{r,\ 0}}$類：

定義 若葉狀圖冊的相應相干類包含規則葉狀圖冊${\displaystyle \{U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$，使得坐標變換式

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).}$

屬於${\displaystyle C^{k}}$類，但${\displaystyle x_{\alpha }}$在坐標${\displaystyle x_{\beta }}$中是${\displaystyle C^{r}}$類，其階數≤ r、與${\displaystyle x_{\beta }}$的混合偏導數在坐標${\displaystyle (x_{\beta },\ y_{\beta }}$中是${\displaystyle C^{k}}$類，則稱葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$屬於${\displaystyle C^{r,\ k}\ (r>k\geq 0)}$類。^[14]

上述定義是所謂「葉狀空間」的更一般概念。我們可以放寬橫截的條件為${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$的相對緊開子集，允許橫坐標${\displaystyle y_{\alpha }}$在更一般的拓撲空間Z中取值。斑仍是${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$的相對緊開子集，橫坐標公式${\displaystyle y_{\alpha }(y_{\beta })}$的變化是連續的，${\displaystyle x_{\alpha }(x_{\beta },\ y_{\beta })}$在坐標${\displaystyle x_{\beta }}$中屬於${\displaystyle C^{r}}$類，其階數 ≤ r 、與${\displaystyle x_{\beta }}$的混合偏導數在坐標${\displaystyle (x_{\beta },\ y_{\beta })}$中連續。一般要求M、Z為局部緊可測第二可數空間。這似乎是很狂野的推廣，但在一些情形下很有用。^[15]

完整性

令${\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})}$是葉狀流形（foliated manifold）。設L是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的葉，s是L中的路徑，我們感興趣的是M中s的鄰域中葉狀結構的行為。直觀地說，在葉上可以沿路徑s行走，同時關注附近所有葉。在他（以下寫作s(t)）行走時，一些葉可能會「掉落」、變得不可見；另一些可能會突然進入可視範圍，漸漸接近L；還有些可能會以接近平行的方式跟隨L，或垂直地打轉之類。若s是環路，則隨著t增大，s(t)會反覆回到同一個點s(t₀)，每次都會有更多葉螺旋狀地進入或離開視野。這種行為經過適當的形式化，叫做葉狀結構的完整性（holonomy）。

完整性在葉狀流形上有多種具體實現方式：葉狀叢（foliated bundle）的總完整群、一般葉狀流形的完整偽群、一般葉狀流形的虧格完整廣群、葉的虧格完整群、葉的無窮小完整群。

葉狀叢

最容易理解的完整性是葉狀叢的總完整性，這是龐加萊映射概念的推廣。

橫截面（cross section）N與第一回歸映射（first return map）f，其中${\displaystyle M=S^{1}\times D^{2},\ N=D^{2}.}$

「第一回歸映射」來自動力系統理論。令${\displaystyle \Phi _{t}}$是緊n-流形上的非奇異${\displaystyle C^{r}\ (r\geq 1)}$流。應用中，可以想像M是個回旋加速器或流體的閉合迴路。若M有界，則假定流與界相切。流生成了1維葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$。若知道流的正方向，但不知道其他參數（軌跡形狀、速度等），則稱底葉狀結構（underlying foliation）${\displaystyle {\mathcal {F}}}$有向。假設流有全局橫截面N，即N是M的n-1維緊正合嵌入的${\displaystyle C^{r}}$子流形，葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$垂直於N，每條流線都與N相遇。由於N的維度與葉的維度是互補的，橫截性條件是

${\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}$

令${\displaystyle y\in N}$，考慮M中所有序列${\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}$的所有堆積點的ω-極限集合ω(y)，其中${\displaystyle t_{k}}$為無窮大。可以證明，ω(y)是緊非空的，是流線的並。若${\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}$則有值${\displaystyle t^{*}\in \mathbb {R} }$使得${\displaystyle \Phi _{t^{*}}(z)\in N}$，由此可得

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}$

由於N是緊的，${\displaystyle {\mathcal {F}}}$橫截於N，因此集合${\displaystyle \{t>0|\Phi _{t}(y)\in N\}}$是單調遞增序列${\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }}$，並發散。

當${\displaystyle y\in N}$變化，令${\displaystyle \tau (y)=\tau _{1}(y)}$，這樣定義一個正函數${\displaystyle \tau \in C^{r}(N)}$（第一回歸時間），使得${\displaystyle \forall y\in N,\ \Phi _{t}(y)\notin N,\ 0<t<\tau (y),\ \Phi _{\tau (y)}(y)\in N.}$

定義${\displaystyle f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi _{\tau (y)}(y).}$這是${\displaystyle C^{r}}$映射。若流反向，則完全相同的構造會得到逆的${\displaystyle f^{-1}}$；所以${\displaystyle f\in {\rm {Diff}}^{r}(N)}$。這個微分同胚是第一回歸映射，τ稱作第一回歸時間。雖然第一回歸時間取決於流的參數化，但f顯然只取決於有向葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$。可以將流${\displaystyle \Phi _{t}}$重參數化，使其保持非奇異、是${\displaystyle C^{r}}$類，且方向不翻轉，從而使${\displaystyle \tau \equiv 1.}$

流有橫截面N的假設是很受限的，意味著M是${\displaystyle S^{1}}$上纖維叢的總空間。事實上在${\displaystyle \mathbb {R} \times N}$上，可將${\displaystyle \sim _{f}}$定義為以下條件生成的等價關係：

${\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}$

等價地，這是加法群Z在${\displaystyle \mathbb {R} \times N}$上的作用的軌等價，定義如下

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,\ \forall (t,\ y)\in \mathbb {R} \times N,\ k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)).}$

f的映射圓柱定義為${\displaystyle C^{r}}$流形

${\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}$

由第一回歸映射f的定義與第一回歸時間${\displaystyle \tau \equiv 1}$的假設，可立即得出映射

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}$

流的定義可誘導一個規範${\displaystyle C^{r}}$微分同胚

${\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}$

若記${\displaystyle M_{f}=M}$，則${\displaystyle \mathbb {R} \times N}$到R的投影誘導了${\displaystyle C^{r}}$映射

${\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

使M變為圓上纖維叢的總空間。這只是${\displaystyle S^{1}\times D^{2}}$到${\displaystyle S^{1}}$的投影。葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$橫截於這叢的纖維，限制到每片葉L的叢投影π是覆蓋映射${\displaystyle \pi :\ L\to S^{1}}$，這就是葉狀叢（foliated bundle）。

以${\displaystyle x_{0}\in S^{1}}$的等價類${\displaystyle 0+\mathbb {Z} }$為基點，${\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})}$就是原橫截面N。對${\displaystyle S^{1}}$上以${\displaystyle x_{0}}$為基點的每個環路s，同倫類${\displaystyle [s]\in \pi _{1}(S^{1},\ x_{0})}$的唯一特徵是${\displaystyle {\rm {deg}}s\in \mathbb {Z} }$。環路s提升到每條流線中的一條路徑，很明顯提升${\displaystyle s_{y}}$始於${\displaystyle y\in N}$、終於${\displaystyle f^{k}(y)\in N\ (k={\rm {deg}}s)}$。微分同胚${\displaystyle f^{k}\in {\rm {Diff}}^{r}(N)}$也用${\displaystyle h_{s}}$表示，稱作環路s的總整體性。由於只取決於[s]，因此定義了同胚

${\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}$

稱作葉狀叢的總整體同胚。

更直觀地運用纖維叢，令${\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})}$是余維為q的葉狀n-流形，令${\displaystyle \pi :\ M\to B}$是纖維叢，具有q維纖維F與連通基空間B。假設所有這些結構都屬於${\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )}$類，若r = 0，B支持一個${\displaystyle C^{1}}$結構。由於B上的最大${\displaystyle C^{1}}$圖冊都包含${\displaystyle C^{\infty }}$子圖冊，因此假設B如所期望那般光滑並不失一般性。最後，${\displaystyle \forall x\in B}$，假設x有連通開鄰域${\displaystyle U\subseteq B}$，和局部平凡化

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}$

其中φ是${\displaystyle C^{r}}$微分同胚（若r = 0則是同胚），將${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$帶到積葉狀結構${\displaystyle \{U\times \{y\}\}_{y\in F}}$。其中，${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$是葉為${\displaystyle L\cap \pi ^{-1}(U)}$的連通組分的葉狀結構，L是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的葉。這是${\displaystyle C^{r}}$類「葉狀叢」（foliated bundle）${\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}},\ \pi )}$的一般定義。

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$垂直於π的纖維（可以說${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是垂直於纖維的），π到${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的每片葉L的限制是覆蓋映射${\displaystyle \pi :\ L\to B}$。特別是，每條纖維${\displaystyle F_{x}=\pi ^{-1}(x)}$都與${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的每片葉相遇。纖維是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的橫截，與流的橫截完全類似。

葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$橫截於纖維不能保證葉是B的覆蓋空間。這個問題的一個簡單版本是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的一個葉狀結構橫截於纖維

${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \pi (x,y)=x,}$

但有無限多葉缺失了y軸。在相應的圖像中，「有箭頭的」葉以及它們上面所有的葉都漸進於x = 0軸。一般稱這種葉狀結構為相對於纖維是不完備的，即當參數${\displaystyle x\in B}$接近某個${\displaystyle x_{0}\in B}$，一些葉「奔向無窮大」。更確切地說，可能有葉L，和一條連續路徑${\displaystyle s:\ [0,\ a)\to L}$使得${\displaystyle \lim _{t\to a-}\pi (s(t))=x_{0}\in B}$，但${\displaystyle \lim _{t\to a-}s(t)}$在L的流形拓撲中不存在。這類似於不完備流，某些流線會在有限時間內發散。雖然這樣的葉L可能在別處與${\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})}$相遇，但不能均勻覆蓋${\displaystyle x_{0}}$的鄰域，因此不可能是B在π下的的覆蓋空間。F是緊的時，${\displaystyle {\mathcal {F}}}$對纖維的橫截性確實保證了完備性，於是${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$是葉狀叢。

B上有圖冊${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha },\ x_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$，包含開連通坐標圖，以及平凡化${\displaystyle \varphi _{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F}$，將${\displaystyle {\mathcal {F}}|\pi ^{-1}(U_{\alpha })}$帶到積葉狀結構。置${\displaystyle W_{\alpha }=\pi ^{-1}(U_{\alpha })}$，並記${\displaystyle \varphi _{\alpha }=(x_{\alpha },\ y_{\alpha })}$，其中（濫用符號）${\displaystyle x_{\alpha }}$表示${\displaystyle x_{\alpha }\circ \pi ,\ y_{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to F}$是將${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$與規範投影${\displaystyle U_{\alpha }\times F\to F}$組合而得的浸沒。

圖冊${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{W_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$的作用類似葉狀圖冊。${\displaystyle W_{\alpha }}$的斑是${\displaystyle y_{\alpha }}$的水平集，這一族斑通過${\displaystyle y_{\alpha }}$，與F相同。由於預設了B支持某個${\displaystyle C^{\infty }}$結構，據懷特黑德定理，可在B上固定一個黎曼度量，擇圖冊${\displaystyle {\mathcal {U}}}$為測地凸的。於是，${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$總是連通的。若這個交非空，則${\displaystyle W_{\alpha }}$的每個斑都正好與${\displaystyle W_{\beta }}$的一個斑相遇。然後，通過設下式，可定義一個完整上循環（holonomy cocycle）${\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}}$ by setting

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}$

例子

平坦空間

考慮n維空間，是由前n-p個坐標為常數的點組成的子空間之積。這可以用一張圖（chart）表示，其基本原理是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n-p}\times \mathbb {R} ^{p}}$，葉或斑${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$由${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-p}}$枚舉。置n = 3、p = 2，可以類比三維空間：書的2維葉由（1維）頁碼枚舉。

叢

較平凡的葉狀結構例子是積${\displaystyle M=B\times F}$，葉${\displaystyle F_{b}=\{b\}\times F,\ b\in B}$（M的另一個葉狀結構由${\displaystyle B_{f}=B\times \{f\},\ f\in F}$給出）。

對流形F而言，${\displaystyle G={\rm {Homeo}}(F)}$的平坦G-叢是更一般的一類。給定表示${\displaystyle \rho :\ \pi _{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)}$，具有單值ρ的平坦${\displaystyle {\rm {Homeo}}(F)}$-叢由${\displaystyle M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B}$給出，其中${\displaystyle \pi _{1}(B)}$通過甲板變換作用於萬有覆蓋${\displaystyle {\widetilde {B}}}$，通過表示ρ作用於F。

平坦叢符合纖維叢的框架。若有流形F使得${\displaystyle \forall b\in B}$，都有開鄰域U使得有同胚${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F\ (\pi =p_{1}\varphi ,\ p_{1}:\ U\times F\to U)}$（其中p₁是到第一個因子的投影），則流形之間的映射${\displaystyle \pi :\ M\to B}$是纖維叢。纖維叢產生了由纖維${\displaystyle F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B}$組成的葉狀結構，其葉空間L與B同構，前者是豪斯多夫流形。

覆蓋

若${\displaystyle M\to N}$是流形間的覆蓋映射，F是N上的葉狀結構，則其拉回到M上的葉狀結構。更一般地，若映射只是分歧覆蓋（分歧軌跡橫截於葉狀結構），則葉狀結構就可以被拉回。

浸沒

若${\displaystyle M^{n}\to N^{q},\ (q\leq n)}$是流形的浸沒，則據反函數定理，浸沒的纖維的連通組分定義了M的余維為q的葉狀結構。纖維叢是這種類型的一個例子。

不是纖維叢的浸沒的一個例子是

${\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}}$

這種浸沒產生了${\displaystyle [-1,\ 1]\times \mathbb {R} }$的葉狀結構，在下列${\displaystyle \mathbb {Z} }$作用下是不變的：

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)}$

其中${\displaystyle (x,\ y)\in [-1,\ 1]\times \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {Z} }$。${\displaystyle \mathbb {Z} \backslash ([-1,\ 1]\times \mathbb {R} )}$的誘導葉狀結構稱作（環空的）2維里布葉狀結構，或（莫比烏斯帶的）2維無向里布葉狀結構。它們的葉空間都不是豪斯多夫的。

里布葉狀結構

定義一個潛沒

${\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}}$

其中${\displaystyle (r,\ \theta )\in [0,\ 1]\times S^{n-1}}$是n維圓盤${\displaystyle D^{n}}$上的圓柱坐標。這浸沒產生了${\displaystyle D^{n}\times \mathbb {R} }$的葉狀結構，在如下Z作用下是不變的：

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)\ ((x,\ y)\in D^{n}\times \mathbb {R} ,\ z\in \mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \mathbb {Z} \backslash (D^{n}\times \mathbb {R} )}$的誘導葉狀結構被稱作n維里布葉狀結構，其葉空間不是豪斯多夫的。

對於n = 2，這給出了實心環面的葉狀結構，可由沿邊界粘合兩個實心環面，來定義3-球的里布葉狀結構。奇數維球${\displaystyle S^{2n+1}}$的葉狀結構也是明確已知的。^[16]

李群

若G是李群、H是李子群，則G就會被H的陪集葉化。若H在G中閉合，則商空間${\displaystyle G/H}$是光滑（豪斯多夫）流形，將G轉化為纖維叢，纖維H、基為${\displaystyle G/H}$。這個纖維叢實際上是主的，具有結構群H。

李群作用

令G是光滑作用於流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，則G的軌道定義了M的一個葉狀結構。

線性葉狀結構與克羅內克葉狀結構

若${\displaystyle {\tilde {X}}}$是非奇異（即無處為零）的向量場，則${\displaystyle {\tilde {X}}}$定義的局部流拼湊在一起，就定義了維度為1的葉狀結構。事實上，給定任一點${\displaystyle x\in M}$，由於${\displaystyle {\tilde {X}}}$是非奇異的，所以可找到一個關於x的坐標鄰域${\displaystyle (U,\ x^{1},\ ,\ldots ,\ x^{n})}$，使得

${\displaystyle -\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.}$

從幾何角度來看，${\displaystyle {\tilde {X}}\mid U}$的流線就是水平集

${\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,}$

其中所有的${\displaystyle |c^{i}|<\varepsilon .}$由慣例，流形是第二可數的，因此類似「長線」這樣的葉異常現象會被M本身的第二可數性排除。要求${\displaystyle {\tilde {X}}}$是完全域（例如M是緊的），從而要求每片葉都是流線，就可以避開這個難題。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上的線性葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$傳遞到${\displaystyle T^{2}}$上的葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$。 a) 斜率是有理的（線性葉狀結構）； b) 斜率是無理的（克羅內克葉狀結構）。

2-環面上的無理旋轉

環面${\displaystyle T^{2}}$上的一類重要1維葉狀結構來自投影於其上的恆向量場。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上的恆向量場

${\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$

對${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中所有平移都不變，因此當投影到環面${\displaystyle T^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$時傳遞到良定義向量場X。假定a ≠ 0。${\displaystyle {\tilde {X}}}$產生的${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上的葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$的葉具有斜率為${\displaystyle \theta =b/a}$的平行線，這葉狀結構在平移下也是不變的，並傳遞到X產生的${\displaystyle T^{2}}$上的葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$。

${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$每片葉的形式是

${\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.}$

若斜率是有理的，則所有葉都是與圓同胚的閉合曲線。這時，可取${\displaystyle a,\ b\in \mathbb {Z} }$。對固定的${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$，${\displaystyle {\tilde {L}}}$中與${\displaystyle t\in t_{0}+\mathbb {Z} }$的值對應的點都投影到${\displaystyle T^{2}}$的同一點，於是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$對應的葉L是${\displaystyle T^{2}}$中的嵌入圓。由於L是任意的，所以${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是${\displaystyle T^{2}}$對圓的葉狀結構。由此很容易得出，這個葉狀結構實際上就是纖維叢${\displaystyle \pi :\ T^{2}\to S^{1}}$，這就是所謂線性葉狀結構。

若斜率是無理的，則葉是非緊的，同胚於非緊實線，在環面中稠密（參無理旋轉）。每個點${\displaystyle (x_{0},\ y_{0})}$的軌跡永遠不會回到同一點，而是在環面上產生「處處稠密」的環繞，會任意接近任何給定的點。於是，軌跡的閉包是整個2維環面。這種情形稱作克羅內克葉狀結構，得名於利奧波德·克羅內克與

克羅內克稠密性定理 若實數θ不等於π的所有有理倍數，則集合${\displaystyle \{e^{in\theta }|n\in \mathbb {Z} \}}$在單位圓內稠密。

證明

首先注意，若${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$的葉${\displaystyle {\tilde {L}}}$不是一一投影到${\displaystyle T^{2}}$，則一定有實數${\displaystyle t\neq 0}$使得ta、tb都是整數。但這意味著${\displaystyle b/a\in \mathbb {Q} }$。要證${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的葉L在${\displaystyle T^{2}}$中都稠密，只需證明${\displaystyle \forall v\in \mathbb {R} ^{2}}$，${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$的每片葉${\displaystyle {\tilde {L}}}$與陪集${\displaystyle v+\mathbb {Z} ^{2}}$中的適當點間距都是任意小的正距離。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中的適當平移使我們可以假設v = 0，這樣任務就簡化為證明${\displaystyle {\tilde {L}}}$任意地經過合適的點${\displaystyle (n,\ m)\in \mathbb {Z} ^{2}}$。線${\displaystyle {\tilde {L}}}$具有斜截式 ${\displaystyle y=\theta x+c.}$ 因此，對於任意${\displaystyle \eta >0}$，只要找到整數n、m使得 ${\displaystyle |\theta n+c-m|<\eta .}$ 等價地，${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$是任意的，就可以證明集合${\displaystyle \{\theta n-m\}_{m,\ n\in \mathbb {Z} }}$在R中稠密。這實質上就是歐多克索斯關於θ與1不可通約（即θ無理）的標準。

用平行線對${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$進行葉狀結構的類似構造，可得與環面上的線性流相關的n-環面${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$的1維葉狀結構。

緯懸葉狀結構

平坦叢不僅有對纖維的線性結構，還有橫截於纖維的葉狀結構，其葉為

${\displaystyle L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,}$

其中${\displaystyle p:\ {\widetilde {B}}\times F\to M}$是規範投影。這個葉狀結構稱作表示${\displaystyle \rho :\ \pi _{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)}$的緯懸。

具體地說，若${\displaystyle B=S^{1}}$，${\displaystyle \varphi :F\to F}$是F的同胚，則${\displaystyle \varphi }$的緯懸葉狀結構定義為表示${\displaystyle \rho :\ \mathbb {Z} \to {\rm {Homeo}}(F)}$的緯懸葉狀結構，由${\displaystyle \rho (z)=\Phi ^{z}}$給出。其葉空間是${\displaystyle L={\mathcal {F}}/\sim }$，其中只要對某個${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,\ y=\Phi ^{n}(x),\ x\sim y}$。

緯懸葉狀結構最簡單的例子是q維流形X。令${\displaystyle f:\ X\to X}$是雙射。將緯懸${\displaystyle M=S^{1}\times _{f}X}$定義為${\displaystyle [0,\ 1]\times X}$對等價關係${\displaystyle (1,\ x)\sim (0,\ f(x))}$的商。

${\displaystyle M=S^{1}\times _{f}X=[0,\ 1]\times X}$

則，M自動攜帶兩個葉狀結構：${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$包含${\displaystyle F_{2,\ t}=\{(t,\ x)_{\sim }:\ x\in X\}}$形式的集合；${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$包含${\displaystyle F_{2,\ x_{0}}=\{(t,\ x):\ t\in [0,\ 1],\ x\in O_{x_{0}}\}}$形式的集合，其中軌道${\displaystyle O_{x_{0}}}$定義為

${\displaystyle O_{x_{0}}=\{\ldots ,\ f^{-2}(x_{0}),\ f^{-1}(x_{0}),\ x_{0},\ f(x_{0}),\ f^{2}(x_{0}),\ \ldots \}}$

其中指數指的是函數f與自身複合的次數。注意${\displaystyle O_{x_{0}}=O_{f(x_{0})}=O_{f^{-2}(x_{0})},\ {\rm {etc.}}}$，對${\displaystyle F_{1,\ x_{0}}}$也同樣。理解葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$等效於理解映射f的動力學。若流形X已經葉化，則只要f是葉間映射，就可以利用這構造增加葉狀結構的余維數。

2-環面的克羅內克葉狀結構是旋轉${\displaystyle R_{\alpha }:\ S^{1}\to S^{1}}$（角度為${\displaystyle \alpha \in [0,\ 2\pi )}$）的緯懸葉狀結構。

切割重粘後，2-洞環面的緯懸。 a) 帶待切割截面的雙洞環面； b) 切割後帶有4個面的幾何圖形。

更具體地說，若${\displaystyle \Sigma =\Sigma _{2}}$是2洞環面，${\displaystyle C^{1},\ C^{2}\in \Sigma }$是兩個嵌入圓，則${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是葉${\displaystyle \Sigma \times \{y\},\ y\in S^{1}}$的3-流形的積葉狀結構${\displaystyle M=\Sigma \times S^{1}}$。注意${\displaystyle N_{i}=C_{i}\times S^{1}}$是嵌入環，${\displaystyle {\mathcal {F}}}$橫截於${\displaystyle N_{i},\ i=1,\ 2}$。令${\displaystyle {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})}$表示${\displaystyle S^{1}}$的保向微分同胚群，並擇${\displaystyle f_{1},\ f_{2}\in {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})}$。將M沿${\displaystyle N_{1},\ N_{2}}$切開，${\displaystyle N_{i}^{+},\ N_{i}^{-}}$表示它們的副本。這時，流形${\displaystyle M'=\Sigma '\times S_{1}}$有4個邊界分量${\displaystyle \left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.}$葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$橫截邊界${\displaystyle \partial M'}$的葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$，葉的形式為${\displaystyle \Sigma '\times \{y\},\ y\in S^{1}}$。

這片葉在4個圓${\displaystyle C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }}$中與${\displaystyle \partial M'}$相遇。若${\displaystyle z\in C_{i}}$，則${\displaystyle C_{i}^{\pm }}$中的對應點記作${\displaystyle z^{\pm }}$，${\displaystyle N_{i}^{-}}$通過下列標識，「回到」${\displaystyle N_{i}^{+}}$：

${\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.}$

由於${\displaystyle f_{1},\ f_{2}}$是${\displaystyle S^{1}}$的保向微分同胚，因此與恆同（identity）同痕，由這操作得到的流形同胚於M。${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$的葉則重新組合，產生M新的葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})}$。若${\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})}$的葉L 包含一片${\displaystyle \Sigma '\times \{y_{0}\}}$，則

${\displaystyle L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},}$

其中${\displaystyle G\subset {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})}$是由${\displaystyle \{f_{1},\ f_{2}\}}$生成的子群。這些Σ'的副本通過標識彼此相連：

${\displaystyle \forall z\in C_{1},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{1}(g(y_{0})))}$

${\displaystyle \forall z\in C_{2},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{2}(g(y_{0})))}$

其中g在G上取值。葉完全由${\displaystyle y_{0}\in S^{1}}$的G-軌道決定，可以很簡單也可以很複雜。例如若相應的G-軌道有限，則葉就是緊的。舉個極端的例子，若G是平凡的${\displaystyle (f_{1}=f_{2}={\rm {id}}_{S^{1}})}$，則${\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})={\mathcal {F}}}$。若軌道在${\displaystyle S^{1}}$中是稠密的，則對應的葉在M中也稠密。例如，若${\displaystyle f_{1},\ f_{2}}$是2π的有理獨立倍的旋轉，則每片葉都是稠密的。其他例子中，某些葉L的閉包${\displaystyle {\bar {L}}}$與每個因子${\displaystyle \{w\}\times S^{1}}$在康托爾集中相遇。在${\displaystyle \Sigma \times I}$上也可做類似構造，其中I是緊非退化區間。這裡，取${\displaystyle f_{1},\ f_{2}\in {\rm {Diff}}_{+}(I)}$，由於${\displaystyle \partial I}$通過所有保向微分同胚逐點固定了，所以可得一個以${\displaystyle \partial M}$的兩分量為葉的葉狀結構。若在這情形下形成M' ，就會得到有角葉狀流形。無論哪種情形，這種構造都被稱作微分同胚對的緯懸，提供了余維為1的葉狀結構的有趣例子。

葉狀結構與可積性

假設一切都光滑，那麼向量場之間有一種密切關係：給定M上不為零的向量場X，其積分曲線將給出1維葉狀結構（即余維為n-1的葉狀結構）。

這觀察可推廣為弗羅貝尼烏斯定理，即分布（流形切叢的n − p維子叢）與葉狀結構的葉相切的充分必要條件是，與分布相切的向量場集對李括號閉合。這也可以解釋為，將切叢的結構群從${\displaystyle {\rm {GL}}(n)}$約化為可約群。

弗羅貝尼烏斯定理中的條件作為可積條件出現，並斷言若滿足條件，就能約化，因為具有所需塊結構的局部轉移函數存在。例如，對某（非規範）${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}}$（即非零餘向量場），余維為1時可定義葉狀結構的切叢為${\displaystyle {\rm {ker}}(\alpha )}$。若處處都有${\displaystyle \alpha \wedge {\rm {d}}\alpha =0}$，則給定的α可積。

由於存在拓撲約束，因此存在全局葉狀結構理論。例如，曲面情形中，處處非零向量場只能存在於環面的有向緊曲面上。這是龐加萊-霍普夫定理的結果，指出歐拉示性數需為0。其與切觸幾何有很多深層聯繫，專門研究不可積情形。

葉狀結構的存在

Haefliger (1970)給出連通非緊流形上的分布與可積分布同倫的充分必要條件。Thurston （1974, 1976）證明，任意有分布的緊流形都有同維度的葉狀結構。

參看

• 弗羅貝尼烏斯定理
• G結構
• 用葉狀結構分類空間
• 里布葉狀結構
• 緊葉狀結構(Taut foliation)

腳註

1. Candel & Conlon 2000，第5頁
2. Anosov 2001 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFAnosov2001 (幫助)
3. Gourgoulhon 2012，第56頁
4. Reeb, G. Remarques sur les structures feuilletées (PDF). Bull. Soc. Math. France. 1959, 87: 445–450 [2024-01-05]. Zbl 0122.41603. doi:10.24033/bsmf.1539 . （原始內容存檔 (PDF)於2024-01-05）.
5. Lawson 1974
6. Candel & Conlon 2000，第19頁
7. Candel & Conlon 2000，第20頁
8. Candel & Conlon 2000，第23頁
9. Candel & Conlon 2000，第25頁
10. Candel & Conlon 2000，第26頁
11. Candel & Conlon 2000，第27頁
12. Candel & Conlon 2000，第28頁
13. Candel & Conlon 2000，第29頁
14. Candel & Conlon 2000，第31頁
15. Candel & Conlon 2000，第32頁
16. Durfee, A.H. Foliations of Odd-Dimensional Spheres. Annals of Mathematics. Second Series. 1972, 96 (2): 407–411. JSTOR 1970795. doi:10.2307/1970795.

參考文獻

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• Candel, Alberto; Conlon, Lawrence. Foliations II. Graduate Studies in Mathematics 60. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-0809-5.
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外部連結

• Foliations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at the Manifold Atlas