浸沒 (數學)

數學中，浸沒（submersion）是微分流形之間的可微映射，其微分處處為滿射。這是微分拓撲中的一個基本概念。浸沒與浸入對偶。

定義

令M、N是微分流形，${\displaystyle f\colon M\to N}$是它們間的可微映射。映射f是點${\displaystyle p\in M}$處的浸沒，若其微分

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

是線性滿射。^[1]這種情況下，p被稱作映射f的正則點（regular point）；否則，p就是臨界點。若原像${\displaystyle f^{-1}(q)}$中所有的點p都是正則點，則點${\displaystyle q\in N}$是f的正則值。在每點${\displaystyle p\in M}$上都是浸沒的可微映射f也稱作浸沒，等價地，若f的微分${\displaystyle Df_{p}}$的秩等於N的維度，則f是浸沒。

需要注意：有人用「臨界點」描述f的雅可比矩陣的秩不取最大值的點。^[2]這在奇異理論中是更有用的概念。若M的維度不小於N的維度，則這兩個臨界點的概念是重合的；但若M的維度小於N的維度，則據上述定義，所有點都是臨界點（微分不可能是滿射），而雅可比矩陣的秩仍可能是最大的（若等於M的維度）。上述定義更常用，如在薩德定理的表述中。

浸沒定理

給定m維、n維光滑流形之間的浸沒${\displaystyle f\colon M\to N}$，${\displaystyle \forall x\in M}$，有圍繞x的M的滿射圖（chart）${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}$、圍繞${\displaystyle f(x)}$的N的${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}$，使得f限制到浸沒${\displaystyle f\colon U\to V}$，用坐標表示為${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$，就變為普通的正交投影。應用中，${\displaystyle \forall p\in N}$，f對應的纖維表示為${\displaystyle M_{p}=f^{-1}(\{p\})}$，可配備M的光滑子流形結構，其維度等於N與M維度之差。

該定理是反函數定理的結果（見反函數定理#流形）。

例如，考慮${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$由${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}}$給出。雅各比矩陣是

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

除原點外，這在每一點都有最大秩。另外，纖維

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

在${\displaystyle t<0}$時是空集，${\displaystyle t=0}$時等於一個點。因此，我們只有一個光滑浸沒${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},}$與子集${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$是${\displaystyle t>0}$時的2維光滑流形。

示例

• 任何投影${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• 局部微分同胚
• 黎曼浸沒
• 光滑向量叢或更一般的光滑纖維化中的投影。微分的滿射性是局部平凡化存在的必要條件。

球面之間的映射

浸沒的一大類例子是高維球面之間的浸沒，例如

${\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}$

其纖維維度為n，這是因為纖維（元素${\displaystyle p\in S^{k}}$的反像）是n維光滑流形。那麼，若取路徑

${\displaystyle \gamma :I\to S^{k}}$

並取拉回

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}}$

就得到了一種特殊的協邊的例子，稱作有框架協邊。實際上，有框協邊群${\displaystyle \Omega _{n}^{fr}}$與穩定同倫群密切相關。

代數簇族

另一大類浸沒由代數簇${\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to S}$給出，其纖維是光滑代數簇。若考慮其底流形，則得到光滑流形。例如橢圓曲線的魏爾施特拉斯族${\displaystyle \pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}}$是被廣泛研究的浸沒，因為其包含了許多用於展示更複雜理論的技術，如交同調與錯致層。這一族來自

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}}$

其中${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$是仿射線，${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$是仿射平面。由於考慮的是復簇，它們等價於複線與複平面${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}}$。注意我們實際上應該去掉${\displaystyle t=0,1}$，因為那裡有奇點（有雙根）。

局部正規形式

若${\displaystyle f:\ M\to N}$是p處的浸沒，${\displaystyle f(p)=q\in N}$，則在M中存在p的開鄰域U、在N中存在q的開鄰域V，在p處有局部坐標${\displaystyle (x_{1},\ \ldots ,\ x_{m})}$，在q處有局部坐標${\displaystyle (x_{1},\ \ldots ,\ x_{n})}$，使得${\displaystyle f(U)=V}$，且在這些局部坐標中的映射f是標準投影

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

可知，在可微映射${\displaystyle f:\ M\to N}$的作用下，N中的正則值q在M中的全原像${\displaystyle f^{-1}(q)}$要麼是空的，要麼是${\displaystyle {\rm {dim}}M-{\rm {dim}}N}$維微分流形，但可能不連通。這是正則值定理的內容（也叫浸沒定理）。尤其是，若f是浸沒，則${\displaystyle \forall q\in N}$，結論都成立。

拓撲流形的浸沒

一般拓撲流形的浸沒也是良定義的。^[3]拓撲流形浸沒是連續滿射${\displaystyle f:\ M\to N}$，使得${\displaystyle \forall p\in M}$，對p上的某連續圖ψ、f(p)處的φ，映射${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \varphi }$等於射影映射${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$（${\displaystyle m={\rm {dim}}(M)\geq n={\rm {dim}}(N)}$）。

另見

• 埃雷斯曼纖維化定理

腳註

1. Crampin & Pirani 1994，第243頁. do Carmo 1994，第185頁. Frankel 1997，第181頁. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004，第12頁. Kosinski 2007，第27頁. Lang 1999，第27頁. Sternberg 2012，第378頁.
2. Arnold, Gusein-Zade & Varchenko 1985.
3. Lang 1999，第27頁.

參考文獻

• Arnold, Vladimir I.; Gusein-Zade, Sabir M.; Varchenko, Alexander N. Singularities of Differentiable Maps: Volume 1. Birkhäuser. 1985. ISBN 0-8176-3187-9.
• Bruce, James W.; Giblin, Peter J. Curves and Singularities. Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-42999-4. MR 0774048.
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward. Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-23190-9. 含有內容需登入查看的頁面 (link)
• do Carmo, Manfredo Perdigao. Riemannian Geometry. 1994. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Frankel, Theodore. The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-38753-1. MR 1481707.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques. Riemannian Geometry 3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-3-540-20493-0.
• Kosinski, Antoni Albert. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. 2007 [1993]. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Sternberg, Shlomo Zvi. Curvature in Mathematics and Physics. Mineola, New York: Dover Publications. 2012. ISBN 978-0-486-47855-5.

閱讀更多

• https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）