鄰域

在集合論中，鄰域（英語：Neighbourhood）指以點${\displaystyle a}$為中心的任何開區間，記作：${\displaystyle U(a)}$。

關於圖論中，與某頂點相鄰的點集，請見「鄰域 (圖論)（英語：Neighbourhood (graph theory)）」。

在平面上集合${\displaystyle V}$是點${\displaystyle p}$的鄰域，如果圍繞${\displaystyle p}$小圓盤包含在${\displaystyle V}$中。

矩形不是它的任何一角的鄰域。

在拓撲學和相關的數學領域中，鄰域是拓撲空間中的基本概念。直覺上說，一個點的鄰域是包含這個點的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微「抖動」一下這個點而不離開這個集合。

定義

在集合論中，有以下幾種鄰域：

${\displaystyle \delta }$鄰域：${\displaystyle U(a,\delta )=(a-\delta ,a+\delta )=\left\{x\mid |x-a|<\delta \right\}}$

去心鄰域：${\displaystyle U_{0}(a,\delta )=\left\{x\mid 0<|x-a|<\delta \right\}}$

左鄰域：${\displaystyle (a-\delta ,a)}$

右鄰域：${\displaystyle (a,a+\delta )}$

在拓撲學中，拓撲空間${\displaystyle X}$，${\displaystyle A}$，${\displaystyle B\subseteq X}$，稱${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的鄰域，若且唯若以下條件之一成立：

• 存在開集${\displaystyle C}$，使得${\displaystyle A\subseteq C\subseteq B}$。
• ${\displaystyle A\subseteq B^{O}}$。（${\displaystyle B^{O}}$是${\displaystyle B}$的內部）

開鄰域，閉鄰域

若${\displaystyle B}$是開集，則${\displaystyle B}$稱為${\displaystyle A}$的開鄰域；若${\displaystyle B}$是閉集，則${\displaystyle B}$稱為${\displaystyle A}$的閉鄰域。

鄰域系統

設${\displaystyle x\in X}$，則${\displaystyle \{x\}}$所有鄰域的集合${\displaystyle U(x)}$，稱為${\displaystyle x}$（或${\displaystyle \{x\}}$）的鄰域系。

注意：某些作者要求鄰域是開集，所以在閱讀文獻時注意約定是很重要的。

如果${\displaystyle S}$是${\displaystyle X}$的子集，${\displaystyle S}$的鄰域是集合${\displaystyle V}$，它包含了包含${\displaystyle S}$的開集${\displaystyle U}$。可得出集合${\displaystyle V}$是${\displaystyle S}$的鄰域，若且唯若它是在${\displaystyle S}$中的所有點的鄰域。

鄰域的度量空間定義

平面上的集合${\displaystyle S}$和${\displaystyle S}$的均勻鄰域${\displaystyle V}$。

在度量空間${\displaystyle M=(X,d)}$中，集合${\displaystyle V}$是點${\displaystyle p}$的鄰域，如果存在以${\displaystyle p}$為中心和半徑為${\displaystyle r}$的開球，

${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

它被包含在${\displaystyle V}$中。

均勻鄰域

${\displaystyle V}$叫做集合${\displaystyle S}$的均勻鄰域（uniform neighborhood），如果存在正數${\displaystyle r}$使得對於${\displaystyle S}$的所有元素${\displaystyle p}$，

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

被包含在${\displaystyle V}$中。

對於${\displaystyle r>0}$集合${\displaystyle S}$的${\displaystyle r}$-鄰域${\displaystyle S_{r}}$是${\displaystyle X}$中與${\displaystyle S}$的距離小於${\displaystyle r}$的所有點的集合（或等價的說${\displaystyle S_{r}}$是以${\displaystyle S}$中一個點為中心半徑為${\displaystyle r}$的所有開球的聯集）。

可直接得出${\displaystyle r}$-鄰域是均勻鄰域，並且一個集合是均勻鄰域若且唯若它包含對某個${\displaystyle r}$值的${\displaystyle r}$-鄰域。
參見一致空間。

非均勻鄰域的例子

給定實數集${\displaystyle \mathbb {R} }$帶有平常的歐幾里得度量和如下定義的子集${\displaystyle V}$

${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,{\frac {1}{n}}\right)}$，

則${\displaystyle V}$是自然數集合${\displaystyle N}$的鄰域，但它不是這個集合的均勻鄰域，因為${\displaystyle r={\frac {1}{n}}}$並不是一個固定值。

去心鄰域

點 ${\displaystyle p}$ 的去心鄰域（英語：deleted neighborhood 或 punctured neighborhood）是點 ${\displaystyle p}$ 的鄰域中減去 ${\displaystyle \{p\}}$ 後得到的差集。例如，區間 ${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$ 是 ${\displaystyle p=0}$ 在實數軸上的鄰域，因此集合 ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$ 是 ${\displaystyle p=0}$ 的一個去心鄰域。需注意的是，給定點的去心鄰域實際上不是該點的鄰域。在討論函數極限時，會用到去心鄰域的概念。

基於鄰域的拓撲

上述定義適用於開集的概念早已定義的情況。有另一種方式來定義拓撲，也就是先定義鄰域系統，再定義開集：若集中每個點皆有一個鄰域被包含於集中，則為開集。

在${\displaystyle X}$上的鄰域系統是濾子${\displaystyle N(x)}$（在集合${\displaystyle X}$上）到每個${\displaystyle X}$中的${\displaystyle x}$的指派，使得

1. 點${\displaystyle x}$是每個${\displaystyle N(x)}$中的${\displaystyle U}$的元素，
2. 每個${\displaystyle N(x)}$中的${\displaystyle U}$包含某個${\displaystyle N(x)}$中的${\displaystyle V}$使得對於每個${\displaystyle V}$中的${\displaystyle y}$有著${\displaystyle U}$在${\displaystyle N(y)}$中。

可以證明這兩個定義是兼容的，就是說從使用開集定義的鄰域系統獲得的拓撲就是最初的拓撲，反之從鄰域系統出發亦然。

引用

• Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256.

• Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263.

• Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948.

參見

• 局部基
• 第一可數空間
• 管狀鄰域