第一可數空間

在拓撲學上，第一可數空間（First-countable space）是指有可數的鄰域基的拓撲空間，即對於${\displaystyle x\in X}$，存在${\displaystyle x}$的開鄰域序列${\displaystyle U_{1},U_{2},U_{3},...}$，使得對於任意的鄰域${\displaystyle V}$，存在整數${\displaystyle i}$使得${\displaystyle U_{i}\subseteq V}$。

例子與反例

大部份數學中的常見空間為第一可數的，像是所有度量空間皆為第一可數，要證明此點，只要注意到所有以x為中心，半徑為1/n，n為正整數的開球，形成了於x點的可數局部基。

一個無限集（像是實數線）的餘有限拓撲則非第一可數。在商空間${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} }$中，所有自然數被視為一個點，此空間也非第一可數。

第一可數性比第二可數性來得弱，所有第二可數空間皆為第一可數，但不可數的離散空間是第一可數而非第二可數。

性質

• 第一可數性可傳遞至子空間。
• 在第一可數空間中，序列緊緻和可數緊緻等價。
• 任何第一可數空間的可數積為第一可數，但不可數積則未必。