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數學上,流形M的子流形是子集S,且本身也有流形的結構,並且內含映射S → M滿足特定屬性。根據具體所需的屬性,有各種不同類型的子流形。不同作者經常採用不同的定義。
下面假設所有流形為Cr類微分流形,r ≥ 1,並且所有映射為Cr類可微。
流形M的浸入子流形是流形N,帶有給定浸入f : N → M(f : N → f(N)是一個光滑映射,且其雅可比矩陣處處滿秩)。因此,N在M中的像和N存在局域同胚。如果進一步要求N的度量和從M拉回的度量相同,則稱等度浸入子流形。
嵌入子流形(也稱正則子流形)是浸入子流形,其浸入映射為同胚。子流形拓撲和它的像(流形M的子集S)的子集拓撲相同。
嵌入子流形也可以內蘊定義:令M為n-維流形,令k為整數,滿足0 ≤ k ≤ n。k-維嵌入子流形是子空間S ⊂ M使得,對每個點p ∈ S,存在圖(U ⊂ M, φ : U → Rn)包含p滿足φ(S ∩ U)是一個k-維平面和φ(U)的交。二元組(S ∩ U, φ|S ∩ U)構成S上微分結構的圖冊。
文獻中有其他子流形的變種定義。
給定M的浸入子流形S,其p點的切空間可以視為p在M中的線性子空間。這是因為浸入給出了一個單射
假設S是M的嵌入子流形。若內含映射i : S → M是閉映射則S也稱閉嵌入子流形。這是具有良好屬性的一類子流形。
流形經常被定義為歐幾里得空間Rn的子流形,所以這是一個非常重要的特例。根據惠特尼嵌入定理所有第二可數的光滑n-流形可以光滑地嵌入到R2n中。而且根據納什嵌入定理,所有緊緻閉流形可以等距嵌入歐幾里得空間。
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