隱函數定理

在數學分析中，隱函數定理（英語：Implicit function theorem）是一個用來回答下面的問題的工具：

以隐函数表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？

隱函數定理說明，對於一個由關係 ${\displaystyle f(x,y)=0}$ 表示的隱函數，如果它在某一點的偏微分滿足某些條件，則在該點有鄰域使得在該鄰域內 y 可以表示成關於 x 的函數：

${\displaystyle y=h(x)}$

這樣就把隱函數關係變成了常見的函數關係。

舉一個簡單例子：假設兩個變量 x, y 滿足隱函數 x² + y² − 1 = 0，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 y=h(x) 去(局部的)描述這單位圓的圖形？

答案是：除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 兩點外，其他點局部上都有 y=h(x) 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。

例子

讓函數${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$，則單位圓就可以寫成滿足方程式${\displaystyle f(x,y)-1=0}$的點的集合。在圓上的點A附近，y 可以表示成 x 的函數： ${\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$，但點B就不行（因為在點B附近，一個 x 會對應到兩個 y 的值）。

有函數 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$，那麼方程式 ${\displaystyle f(x,y)-1=0}$ 的所有解的集合構成平面上的單位圓。圓上的點整體上是無法表示成單變數函數 ${\displaystyle y=h(x)}$ 的形式的，因為每個${\displaystyle x\in (-1,1),}$都有兩個${\displaystyle y}$的值與之對應，即${\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$。

然而在某些點附近，局部地用 ${\displaystyle x}$ 來表示 ${\displaystyle y}$ 是可能的。比如給定圓上一點 ${\displaystyle (x,y)}$，如果 ${\displaystyle y>0}$，也就是說如果只選取圓的上半部分的話，在這一點附近 ${\displaystyle y}$ 可以寫成關於 ${\displaystyle x}$ 的函數：${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$。如果 ${\displaystyle y<0}$，在圓的下半部分 ${\displaystyle y}$ 也可以寫成關於 ${\displaystyle x}$ 的函數：${\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$。

但是，在點 ${\displaystyle (\pm 1,0)}$ 的附近，${\displaystyle y}$ 無法寫成關於 ${\displaystyle x}$ 的函數，因為這些點的每一個鄰域中都包含了上半圓和下半圓的點，也就是說對於附近的每一個 ${\displaystyle x}$，都有兩個 ${\displaystyle y}$ 的值與之對應，這種情況下 ${\displaystyle y}$ 無法寫成 ${\displaystyle x}$ 的函數。

定理的敘述：歐幾里得空間的情況

設 f : R^n+m → R^m 為一個連續可微函數。這裡R^n+m 被看作是兩個空間的直積： Rⁿ×R^m，於是 R^n+m 中的一個元素寫成 (x,y) = (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m) 的形式。 我們的目標是找到一個函數 h: Rⁿ → R^m ，讓這函數的圖形(graph of a function), (x, h(x)), 局部上恰好等於集合{ (x, y) | f(x,y) = 0}，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 h 的局部存在。

固定一點(a,b) = (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m) 使得 f(a, b) = 0，我們希望在點 (a,b) 的附近找到一個 y 關於 x 的函數 h，嚴格來說，就是說存在 a 的鄰域 U ⊆ Rⁿ 和 b 的鄰域 V ⊆ R^m 以及函數：h : U → V，使得 h 的函數的圖形 (x, h(x)) 剛好等於 U × V 中 f(x,y) = 0 的集合，也就是說：

${\displaystyle \{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}}$。

要保證這樣的函數 h 存在，函數 f 的雅可比矩陣要滿足某些性質。對於給定的一點 (a,b)，f 的雅可比矩陣寫作：

${\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}$

其中的矩陣 ${\displaystyle X}$ 是函數 f 關於變數 x 的偏微分，而矩陣 ${\displaystyle Y}$ 是 f 關於變數 y 的偏微分。隱函數定理說明了：如果${\displaystyle Y}$是一個可逆矩陣的話，那麼滿足前面性質的鄰域 U、V 和函數 h(x) 就會存在。正式的敘述就是：

設 f : R^n+m → R^m 為連續可微函數，讓 R^n+m 中的坐標記為 (x, y), (x, y) = (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m)。給定一點  (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m) = (a,b) 使得   f(a,b)=0（0 ∈ R^m，是個零向量）。如果 m×m 矩陣 [(∂f_i / ∂y_j)(a, b) 是可逆矩陣的話（此矩陣即上面的矩陣 ${\displaystyle Y}$），那麼存在 a 的鄰域 U ⊆ Rⁿ、b 的鄰域 V ⊆ R^m 以及唯一的連續可微函數 h:U → V，使得

${\displaystyle h(\mathbf {a} )=\mathbf {b} }$

且

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ,\,\,}$ 對所有的 ${\displaystyle \mathbf {x} \in U}$。

一般情形

設${\displaystyle E_{1}}$、${\displaystyle E_{2}}$和${\displaystyle F}$是三個巴拿赫空間，而${\displaystyle U}$、${\displaystyle V}$分別是${\displaystyle E_{1}}$、${\displaystyle E_{2}}$上的兩個開集。設函數：

${\displaystyle f:U\times V\rightarrow F}$

是一個${\displaystyle k~(k\geq 1)}$階可微函數（見Fréchet導數（英語：Fréchet derivative）），並且對於${\displaystyle E_{1}\times E_{2}}$中的一點${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$，滿足：

• ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$
• 映射 ${\displaystyle y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)}$ 是一個從${\displaystyle E_{2}}$到${\displaystyle F}$的同構

那麼有如下結論：

存在${\displaystyle x_{0}}$的鄰域 ${\displaystyle U_{0}\subset U}$ 、 ${\displaystyle y_{0}}$的鄰域 ${\displaystyle V_{0}\subset V}$ ，以及 ${\displaystyle k}$ 階Fréchet可微函數${\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}}$，使得：

對任意${\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}}$，只要${\displaystyle f(x,y)=0}$，就有${\displaystyle y=\varphi (x)}$。

參見

• 反函數定理
• 不動點定理
• 壓縮映射定理
• 微分

參考來源

• （英文）Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF). Iowa State University. [2009-11-05]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-05-07）.
• Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984.

• Danilov, V.I., Implicit function (in algebraic geometry), Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.

• Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2.

• Fritzsche, K.; Grauert, H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. 2002.

• Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522.

• Kudryavtsev, Lev Dmitrievich, Implicit function, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.

• Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117.

• Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.