光滑函數

光滑函數（英語：Smooth function）在數學中特指無窮可導的函數，不存在尖點，也就是說所有的有限階導數都存在。例如，指數函數就是光滑的，因為指數函數的導數是指數函數本身。

若一函數是連續的，則稱其為${\displaystyle C^{0}}$函數；若函數存在導函數，且其導函數連續，則稱為連續可導，記為${\displaystyle C^{1}}$函數；若一函數${\displaystyle n}$階可導，並且其${\displaystyle n}$階導函數連續，則為${\displaystyle C^{n}}$函數（${\displaystyle n\geq 1}$）。而光滑函數是對所有${\displaystyle n}$都屬於${\displaystyle C^{n}}$函數，特稱其為${\displaystyle C^{\infty }}$函數。

按照要求構造光滑函數

構造在給定區間外為零但在區間內非零的光滑函數經常很有用。這是可以達到的；另一方面來講，一個冪級數不可能有這樣的屬性。這表明光滑和解析函數之間存在著巨大的鴻溝；所以泰勒定理一般不可以應用到展開光滑函數。

要給出這樣的函數的顯式構造，我們從構造如下的函數開始

${\displaystyle f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)}$，

開始先對${\displaystyle x>0}$定義。我們不但有

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)\to 0}$（從上式可以得到）

而且對於所有多項式${\displaystyle P}$,有

${\displaystyle \lim _{x\to 0}P(x)f(x)\to 0}$

因為負指數的指數增長起支配作用。這意味著對於${\displaystyle x<0}$設定${\displaystyle f(x)=0}$將給出一個光滑函數。像${\displaystyle f(x)f(1-x)}$這樣的組合可以以任何給定區間為支撐構成；在這個特例中，該區間是${\displaystyle [0,1]}$。這樣的函數從${\displaystyle 0}$開始有特別慢的『啟動』。

參看非解析無窮可微函數。

和解析函數理論的關係

用複分析的術語考慮，如下的函數

${\displaystyle g(z)=\exp(-{\frac {1}{z^{2}}})}$

對於${\displaystyle z}$取任何實數值是光滑的，但在${\displaystyle z=0}$有一個本質奇異點。也就是，在${\displaystyle z=0}$附近的行為不好；但恰巧只看實參數時無法讓我們發現這一點。

光滑單位分解

給定閉支撐的光滑函數用於構造光滑單位分解（參看拓撲學術語單位分解條目）；這在光滑流形的研究中有基本的作用，例如在證明黎曼度量可以從他們的局部存在性全局的定義時。一個簡單的情形是實直線上的一個突起函數，一個光滑函數${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$外為${\displaystyle 0}$，並且使得

${\displaystyle f(x)>0}$ for ${\displaystyle a<x<b}$.

給定一些直線上的互相重疊的區間，可以在每個區間上構造突起函數，在半無限區間（${\displaystyle -\infty ,c]}$和${\displaystyle [d,+\infty }$）上也可以，以覆蓋整條直線，使得函數的和總是${\displaystyle 1}$。

根據前面所說，單位分解不適用於全純函數；它們的對於存在性和解析連續的不同行為是層論的根源之一。作為對比，光滑函數的層趨向於不包含很多拓撲資訊。

流形的光滑映射

光滑流形之間的光滑映射可以用坐標圖的方式來定義。因為函數的光滑性的概念和特定的坐標圖的選取無關。這樣的映射有一個一階導數，定義在切向量上；它給出了在切線束的級別上的對應纖維間的線性映射。

高等定義

在需要討論所有無窮可微函數的集合時，以及該空間的元素在微分和積分、求和、取極限時的行為時，人們發現所有光滑函數的空間不是一個合適的選擇，因為它在這些操作下不是完備和閉合的。對於這個情況的一個正確處理，我們可以採用索伯列夫空間（Sobolev space）的概念。

參看

• 准解析函數
• 分段光滑函數

外部連結