大斜方截半立方体

在几何学中，大斜方截半立方体，又称为截角截半立方体，是一种阿基米德立体。这个多面体共由26个面、72条边和48个顶点所组成，其中，26个面中包含了 12个正方形面、8个正六边形面以及6个正八边形面。由于每个面都存在点对称性质，因此大斜方截半立方体也是一种环带多面体。

此条目页的主题是一种阿基米德立体。关于同名的星形均匀多面体，请见“非凸大斜方截半立方体”。

大斜方截半立方体

（点选观看旋转模型）
类别	半正多面体
对偶多面体	四角化菱形十二面体
识别
名称	大斜方截半立方体
参考索引	U11, C23, W15
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	girco
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	tr{4,3} ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 3 4 |
康威表示法	bC taC
性质
面	26
边	72
顶点	48
欧拉特征数	F=26, E=72, V=48 （χ=2）
组成与布局
面的种类	正方形 正六边形 正八边形
面的布局 （英语：Face configuration）	12{4}+8{6}+6{8}
顶点图	4.6.8
对称性
对称群	Oh群
特性
环带多面体
图像
4.6.8 （顶点图） 四角化菱形十二面体 （对偶多面体） （展开图）
查 论 编

其他名称

这个立体有多种名称：

• 大斜方截半立方体（英语：Great rhombicuboctahedron^{[注 1]}），由罗伯特·威廉斯（英语：Robert Williams (geometer)）命名^[1]
• 截角截半立方体（英语：Truncated Cuboctahedron），由约翰尼斯·开普勒命名^[2]
• 斜方截角立方体（英语：Rhombitruncated cuboctahedron），由马格努斯·文宁格（英语：Magnus Wenninger）命名^[3]
• 大斜方截半立方体（英语：Great rhombcuboctahedron^{[注 1]}），由皮特·克伦威尔（英语：Peter Cromwell）命名^[4]
• 全截立方体（英语：Omnitruncated cube or cantitruncated cube），由诺曼·约翰逊（英语：Norman Johnson (mathematician)）命名

名称截角截半立方体（英语：Truncated Cuboctahedron）最初是约翰尼斯·开普勒命的名称，但这个名称有点会引起误解，因为若将截半立方体进行截角操作的话，即切去截半立方体的所有顶点之后，得到的立体图形将不会是均匀的形状，会出现长方形的面，但由于他们可以借由变形变成半正多面体大斜方截半立方体，因此他们在拓朴学上是一样的^[5]。

性质

大斜方截半立方体是一种阿基米德立体，由于每一个面都是正多边形，因此也符合托罗尔德戈塞特在1900为给出的半正多面体定义^[6][7]。此外，大斜方截半立方体也是一种环带多面体，并属于八面体对称。

面的组成

大斜方截半立方体是一种半正多面体，换言之即其面皆由正多边形组成。大斜方截半立方体具有26个面，因此也可以称为半正二十六面体，但半正二十六面体不只一种，小斜方截半立方体也是一个具有26个面的半正多面体。组成大斜方截半立方体的26个面中，其中12个面是正方形面、8个面是正六边形面以及另外6个正八边形的面。

顶点座标

若有一个边长为2的大斜方截半立方体之几何中心置于三维直角坐标系的原点时，其顶点座标为下列座标的全排列：

${\displaystyle (\pm 1\,,\,\pm (1+{\sqrt {2}})\,,\,\pm (1+2{\sqrt {2}}))}$

体积与表面积

一个边长为a的大斜方截半立方体，其表面积和体积为：

${\displaystyle A=12\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 61.7551724a^{2}}$

${\displaystyle V=\left(22+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 41.7989899a^{3}.}$

其中A代表表面积${\displaystyle A=12(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}}$约为62倍的边长平方、V代表体积${\displaystyle V=(22+14{\sqrt {2}})a^{3}}$约为42倍的边长立方。

作法

构成大斜方截半立方体有多种方法，其中一种是将立方体（或正八面体）的十二条棱切一刀，并且在八个（正八面体为六个）顶点处切一刀，但是要切的薄一点，切的深度与截半相当，就可以得到一个大斜方截半立方体。

拆解

斯图尔特环形

亏格 3	亏格 5	亏格 7	亏格 11

正交投影

大斜方截半立方的正交投影

建立于	顶点	四边形-六边形 交棱	四边形-八边形 交棱	四边形-八边形 交棱	四边形-六边形 交面
图像
投影对称性	[2]+	[2]	[2]	[2]	[2]
建立于	正方形面	正八边形面	正方形面	正六边形面	正八边形面
图像
投影对称性	[2]	[2]	[2]	[6]	[8]

相关多面体及镶嵌

对称性（英语：List_of_spherical_symmetry_groups）: [4,3], (*432)（英语：Octahedral symmetry）								[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)（英语：Tetrahedral symmetry）		[3+,4] (3*2)（英语：pyritohedral symmetry）
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	c{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=					= or	= or	=
对偶多面体
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V4.62/63	V34.4	V33	V3.62	V35

大斜方截半立方体图

在图论的数学领域中，大斜方截半立方体图是阿基米得立体中大斜方截半立方体之边与顶点的图（英语：n-skeleton）。共有48个顶点和72条棱，且是位于零对称性（英语：Zero-symmetric graph）和立方体（英语：Cubic graph）的阿基米德图（英语：Archimedean graph）^[8]。

参见

• 立方体

注释

1. Great rhombcuboctahedron（大斜方截半立方体）这一名称和Great rhombicuboctahedron（大斜方截半立方体）差异在前者的rhombcuboctahedron比后者的rhombicuboctahedron少一个“i”字母

参考文献

1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9, p. 82)
2. Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. （页面存档备份，存于互联网档案馆） New York: Dover, p. 138, 1987.
3. Wenninger, Magnus, Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1974, ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493 (Model 15, p. 29)
4. Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). (p. 82)
5. Cundy, H. and Rollett, A. "Great Rhombicuboctahedron or Truncated Cuboctahedron. 4.6 　 .8." §3.7.6 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 106, 1989.
6. Thorold Gosset On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
7. Coxeter, H.S.M. Regular polytopes, 3rd Edn, Dover (1973)
8. Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press: 269, 1998

• Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 大斜方截半立方体 （参阅阿基米德立体） 于MathWorld（英文）
  • 埃里克·韦斯坦因. Great rhombicuboctahedral graph. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x4x - girco. bendwavy.org.
• Editable printable net of a truncated cuboctahedron with interactive 3D view（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Uniform Polyhedra（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Virtual Reality Polyhedra（页面存档备份，存于互联网档案馆） The Encyclopedia of Polyhedra
• great Rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting（页面存档备份，存于互联网档案馆）