几何中心

n 维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是X中所有点的平均。如果一个物件质量分布平均，形心便是重心。

三角形的中心

如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。

有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。

性质

一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。

三角形的中心

形心是三角形的几何中心，是指三角形的三条中线（顶点和对边的中点的连线）交点^[1]。

三条中线共点证明

三条中线共点证明

用塞瓦定理逆定理可以直接证出：

${\displaystyle {\frac {BE}{EC}}\cdot {\frac {CF}{FA}}\cdot {\frac {AD}{DB}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}=1}$

因此三线共点。^[2]

中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的1/3。如右图所示：

如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$，${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$，和${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$，那么几何中心位于：

${\displaystyle {\Big (}{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a}+x_{b}+x_{c}),\;{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(y_{a}+y_{b}+y_{c}){\Big )}={\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a},y_{a})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{b},y_{b})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{c},y_{c})}$

中心分中线为2:1的证明

设三角形ABC的中线AD，BE和CF交于三角形的中心G，延长AD至点O使得

${\displaystyle AG=GO.\,}$

那么三角形AGE和AOC 相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长，所以OC平行于BG。同样的，OB平行于CG。

从而图形GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线GO和BC的交点使得GD = DO，这样

${\displaystyle GO=GD+DO=2GD.\,}$

所以，${\displaystyle AG=GO=2GD\,}$，或${\displaystyle AG:GD=2:1\,}$，这对任何中线都成立。

性质

• 三角形的重心与三顶点连线，所形成的三个三角形面积相等。
• 顶点到重心的距离是中线的${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$。
• 外心${\displaystyle O}$、重心${\displaystyle G}$、九点圆圆心${\displaystyle F}$、垂心${\displaystyle H}$四点依次序共线，其中${\displaystyle OG:GF:FH=2:1:3}$，此线称为欧拉线。
• 内心${\displaystyle I}$、重心${\displaystyle G}$、斯俾克心${\displaystyle S}$、奈格尔点${\displaystyle N}$四点依次序共线，其中${\displaystyle IG:GS:SN=2:1:3}$，此线称为奈格尔线。
• 三角形的重心同时也是中点三角形的重心。
• 在直角座标系中，若顶点的座标分别为${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$、${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$、${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$，则重心的座标为：

${\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\right)}$

• 三线坐标中、重心的座标为：

${\displaystyle bc:ca:ab={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=\csc A:\csc B:\csc C}$

• 重心坐标中、重心的座标为：

${\displaystyle 1:1:1}$

• 三角形的重心的等截共轭点也是三角形重心自己。
• 三角形的重心的等角共轭点称为类似重心。

四面体的中心

类似三角形的中心的结论对四面体也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何${\displaystyle n}$-维单形。如果单形的顶点集是${\displaystyle {v_{0},...,v_{n}}}$，将这些顶点看成向量，几何中心位于：

${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}\;.}$

多边形的中心

一个由N个顶点（x_i , y_i）确定的不自交闭多边形的中心能如下计算：^[3]

记号（ x_N , y_N）与顶点（ x₀ , y₀）相同。多边形的面积为：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$

多边形的中心由下式给出：

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$

有限点集的中心

给定有限点集 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}$属于${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$，它们的中心定义${\displaystyle C}$为

${\displaystyle C={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}{k}}}$。

面积中心

面积中心和质量中心非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。^[4]

对于两部分组成的图形，将有如下等式：

${\displaystyle {\overline {y}}={\dfrac {{\overline {y_{1}}}A_{1}+{\overline {y_{2}}}A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {y}}}$是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。${\displaystyle A}$是特定部分的面积。

当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum {\overline {x_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {y}}={\frac {\sum {\overline {y_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}}$

这里从y-轴到中心的距离是${\displaystyle {\overline {x}}}$，从x-轴到中心的距离是${\displaystyle {\overline {y}}}$，中心的坐标是${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})}$。

积分公式

一个平面图形的中心的横坐标（x轴）由积分

${\displaystyle C_{x}={\frac {\int xf(x)\;dx}{\int f(x)\;dx}}}$给出。

这里f（x）是对象位于在横坐标x点y轴上的长度，是在x图形的测度。这个公式能由区域关于y-轴的第一矩得出。

这个过程等价于取加权平均。假设y-轴表示频率，x-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着x-轴的中心即 ${\displaystyle {\bar {x}}}$。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。

对任意维数n，由相同的公式得出${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中一个对象的中心第一个坐标，假设f (x)是对象在坐标x的截面（也就是说，对象中第一个坐标为x的所有点的集合）的（n-1）-维测度。

注意到分母恰是对象的n- 维测度。特别的，在f为正规时，即分母为1，中心也称为f的平均。

当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。

圆锥和棱锥的中心

圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。

对称中心

如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。

地理中心

地理学中，地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心。

参见

• 重心列表
• 帕普斯中心定理
• K-平均算法
• 中点
• 外心
• 内心
• 垂心
• 奈格尔点
• 类似中线
• 欧拉线
• 西瓦定理

参考文献

1. 几何原本ISBN 957-603-016-1
2. 几何明珠ISBN 957-603-197-4
3. Calculating the area and centroid of a polygon. [2008-10-16]. （原始内容存档于2008-10-16）.
4. Area Centroid. [2008-10-16]. （原始内容存档于2008-10-20）.

外部链接

• Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
• Triangle centers（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
• Characteristic Property of Centroid（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Barycentric Coordinates（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Interactive animations showing Centroid of a triangle（页面存档备份，存于互联网档案馆） and Centroid construction with compass and straightedge（页面存档备份，存于互联网档案馆）