正方形

在平面几何学中，正方形是四边相等且四个角是直角的四边形^[1]。正方形是正多边形的一种：正四边形。四个顶点为ABCD的正方形可以记为正方形 ABCD。

正方形
一个正四边形
类型	正多边形
对偶	正四边形（本身）
边	4
顶点	4
对角线	2
施莱夫利符号	{4} t{2}
考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	square
对称群	二面体群 (D4), order 2×4
面积	${\displaystyle {\frac {4}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \approx 1a^{2}}$
内角（度）	90°
内角和	360°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形
查 论 编

正方形是二维的超方形，也是二维的正轴形。

性质

正方形是正四边形，是特殊的矩形、对称四边形、平行四边形。其四个内角为直角。除了四边四角相等的性质，正方形还有以下性质：

• 所有对边平行；
• 所有内角为直角（${\displaystyle 90^{\circ }}$）；
• 对角线相等且互相垂直平分；
• 一组对角线平分一组对角；
• 正方形是圆内接四边形。

面积和周长

正方形的面积是其边长的平方

正方形的周长是它的边长的4倍。如果边长为a，那么周长${\displaystyle P=4a}$。正方形的面积是其边长的平方。如果边长为a，那么面积${\displaystyle A=a^{2}}$。如果我们知道正方形的对角线长d，那么我们也可以之计算面积${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}}$，如果正方形边心距为r，外接圆半径是R，那么${\displaystyle A=4r^{2}}$。，${\displaystyle A=2R^{2}}$。

若正方形的边长为整数，其面积就是一个完全平方数。在周长固定时，正方形的面积一定大于其他非正方形的四边形的面积。

对称性

正方形是一种高度对称的平面图形，它关于两条对角线的交点中心对称（这个点又被称作正方形的中心）。它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线。保持正方形不变的变换有8种，包括全等变换，以正方形中心为中心、角度为90度、180度和270度的旋转，以及关于四条对称轴的反射。这八个变换组成了一个群，是二面体群中的一个，记作D₄。

全等变换，四个顶点都不变	r1（顺时针90°旋转）	r2（180°旋转）	r3（顺时针270°旋转）
fv垂直反射	fh水平反射	fd沿主对角线（左上至右下）反射	fc沿副对角线（右上至左下）反射
二面体群D4

正方形与无理数

公元前五世纪时，毕达哥拉斯学派最早证明了正方形的对角线长度与边长长度的比例：${\displaystyle {\sqrt {2}}}$，是无法表示为两个自然数的公比的。

使用圆规与直尺建构出正方形。

平面镶嵌

用同一种多边形不重叠地将平面“铺满”，称为平面的正镶嵌图。正方形是能够组成平面的正镶嵌图的三种正多边形之一（另外两种分别是正三角形和正六边形）。

参考文献

1. Euclid's Elements, Book I. mathcs.clarku.edu. [2017-10-21]. （原始内容存档于2017-09-18）.

参见

• 几何学主题

• 立方体
• 根号2
• 四维超正方体
• 垂直
• 圆规四等分圆
• 幻方
• 完美正方形
• 格点