在几何学 中，菱形十二面体 （Rhombic dodecahedron ）是一个由菱形 构成的十二面体 [ 2] 全等 的菱形 组成，具有24条边 和14个顶点 ，其对偶多面体 为截半立方体 [ 3] 卡塔兰立体 之一。
其具有面可递 的性质，这意味着这个几何形状 的对称性 可在各个面 上传递。菱形十二面体是一种可以独立堆砌 并无空隙且不重叠地填满三维空间 的立体，因此是一种空间填充多面体 [ 4] 堆砌 结构可以对应到化学 中的体心立方晶格 ；此外，在矿物学 中，菱形十二面体也是部分矿物的晶体惯态 [ 5] 骰子 或被设计成魔方 。菱形十二面体有数种拓朴同构体，即几何上不同，但面的数量与每个面的边数相同、顶点间连接方式也相同的立体，例如筝形十二面体 。菱形十二面体也可以星形化 星形菱形十二面体 ，当中较知名的形状是艾雪立体 。
Quick Facts 类别, 对偶多面体 ...
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菱形十二面体能独立密铺三维空间 菱形十二面体旋转透视图
菱形十二面体是一个卡塔兰立体 ，有12个面 、24条边和14个顶点 [ 1] :3 ，其中12面为12个全等 的个菱形 ，且具有180度旋转对称性和点对称性，因此是一个环带多面体 [ 6] 对偶多面体 为截半立方体 。
菱形十二面体能独立密铺三维空间，因此是一种空间填充多面体 [ 4] 菱形十二面体堆砌 ，可以视为是面心立方晶格的沃罗诺伊镶嵌 。这种堆砌体 是体心立方晶格 （bcc）的布里元区 ，部分矿物可以形成于菱形十二面体的晶体惯态 [ 5] 石榴石 。蜜蜂筑巢时也是使用菱形十二面体空间填充的几何结构来筑巢，其每个蜂房皆是以半个菱形十二面体为上盖之六角柱的空间填充构成[ 7] [ 8] 钻石 和金刚石 的单位晶格中，但实际上少了4个顶点，而化学键 位于剩余的棱上[ 9]
菱形十二面体可以从中心分割成4个三方偏方面体 ，若将菱形十二面体空间填充的每一个菱形十二面体都分割成三方偏方面体则可以形成三方偏方面体的空间填充[ 10] [ 11] 正六边形镶嵌 的六边形 切割成3个菱形而形成菱形镶嵌 。
菱形十二面体
菱形十二面体的分割
正六边形的分割
菱形十二面体可以透过将一个立方体切割成6个四角锥重新组合而成
[ 12] 。
菱形十二面体的对偶多面体 ——截半立方体 是一个阿基米德立体 ，具有点可递 的性质，因此菱形十二面体具有面可递的性质，这意味着这个几何形状的对称群可在各个面上传递，换句话说，这立体上的任意两个面A和B，若透过旋转或镜射这个立体，使A移动到B原来的位置时，而两个面仍然占据了相同的空间区域[ 13]
同理，菱形十二面体具有边可递的特性，这意味着，这立体上的任意两条棱A和B，透过旋转或镜射这个立体，使A移动到B原来的位置时，其棱以及其二面角仍然占据了相同的空间区域[ 14] [ 15] [ 16]
菱形十二面体由12个全等的菱形组成，这个菱形的长对角线都是短对角线 的√2 锐角 的角度则为arccos (1 / 3 钝角 的角度则为 109.47°[ 17] [ 1] :5 ，两条对角线长度与一边长的比为
2
:
1
:
3
/
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}:1:{\sqrt {3}}/2}
[ 18]
若菱形十二面体的边长为a 内切球 半径为：[ 19] [ 注 2]
r
i
=
6
3
a
≈
0.816
496
5809
a
{\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.816\,496\,5809a\,}
OEIS 数列A157697 ）边心距 为：[ 19] [ 注 4]
r
m
=
2
2
3
a
≈
0.942
809
041
58
a
{\displaystyle r_{\mathrm {m} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0.942\,809\,041\,58a\,}
OEIS 数列A179587 ）外接球 半径为：
r
o
=
2
3
3
a
≈
1.154
700
538
a
{\displaystyle r_{\mathrm {o} }={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}a\approx 1.154\,700\,538a\,}
OEIS 数列A020832 ）
若菱形十二面体的边长为a 表面积 A 体积 V [ 19] [ 注 6]
A
=
8
2
a
2
≈
11.313
7085
a
2
V
=
16
3
9
a
3
≈
3.079
201
44
a
3
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=8{\sqrt {2}}a^{2}\approx 11.313\,7085a^{2}\\V&={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}\approx 3.079\,201\,44a^{3}\end{aligned}}}
若令其对偶多面体——截半立方体边长为单位长，则菱形十二面体的边长为
3
6
8
{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}}
V 为[ 19]
V
=
27
2
16
≈
2.386
485
386
5
{\displaystyle V={\frac {27{\sqrt {2}}}{16}}\approx 2.386\,485\,386\,5}
[ 19]
五角十二面体 （Pyritohedron[ 20] 扩展
三个菱形之公共顶点（共8个）其顶点坐标 为[ 4]
(±1, ±1, ±1) 另外6个顶点为四个菱形之公共顶点，其顶点坐标为[ 4]
(±2, 0, 0), (0, ±2, 0) 和 (0, 0, ±2) 菱形十二面体可以是为五角十二面体的退化限制，其顶点坐标可表示为(±1, ±1, ±1) 与(0, 1 + h , 1 − h 2 ) ，其中h = 1。
菱形十二面体有4个特殊的正交投影，分别为于四个菱形的公共顶点投影、于三个菱形的公共顶点投影、于棱上投影和于面上投影，其中“于棱上投影”以及“于面上投影”其对称性对应于B2 和 A2 的考克斯特平面[ 21]
亦有一些十二面体也是由菱形组成，例如比林斯基十二面体 [ 22]
菱形十二面体是一种平行多面体 ，具有可以独立填满三维空间的性质，其所形成的几何结构称为菱形十二面体堆砌 或平行十二面体堆砌[ 23]
常见的由菱形组成的平行十二面体有二面体群菱形十二面体 。
二面体群菱形十二面体 是一种具有与一般菱形十二面体不同对称性的平行十二面体，同样可以独立填满三维空间，其所形成的几何结构类似于截角八面体堆砌 的一个变种[ 24]
其中一个二面体群菱形十二面体例子，例如由4个正方形和8个60度菱形所组成的平行十二面体，其具有D4h 二面体群 对称，且阶数为16，其外型看起来与顶面和底面摆入正四角锥的截半立方体类似。
顶点座标
(0, 0, ±2)
(±1, ±1, 0)
(±1, 0, ±1)
(0, ±1, ±1)
主条目：比林斯基十二面体
比林斯基十二面体 （Bilinski dodecahedron ）又称为第二种菱形十二面体 （菱形十二面体第2種 [ 25] [ 26] 斯坦科·比林斯基
比林斯基十二面体同样由12个菱形组成，但构成此几何体的菱形有两种：其中一种菱形对角线比为2个平方根，另一种菱形对角线比为黄金比例 [ 27] [ 28]
More information 第一种, 第二种 ...
面的种类
第一种
第二种
√2 :1
√5 + 1/ 2
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菱形十二面体形状的骰子 。 由于菱形十二面体每个面全等，且十分均匀，因此有时会被拿来做成骰子 （但大多数都会使用正十二面体 作为骰子）。亦有部分的魔方 是设计成菱形十二面体的形状[ 29]
菱形十二面体可以经由立方体透过会合变换构造，即将立方体每个面贴上角锥，并用适当的锥高，使角锥侧面与邻近面上贴的角锥之测面共面来获得。其他也是由立方体透过康威变换得到的多面体有：
More information 对称性: [4,3], (*432), [4,3]+, (432) ...
半正正八面体家族多面体
对称性 : [4,3] , (*432)
[4,3]+ , (432)
[1+ ,4,3], (*332)
[4,3+ ], (3*2)
{4,3}
t0,1 {4,3}
t1 {4,3}
t1,2 {4,3}
{3,4}
t0,2 {4,3}
t0,1,2 {4,3}
s{4,3}
h{4,3}
h1,2 {4,3}
半正多面体的对偶
V4.4.4
V3.8.8
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.3.3.3
V3.4.4.4
V4.6.8
V3.3.3.3.4
V3.3.3
V3.3.3.3.3
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菱形十二面体可以切割成截半立方体 。在切割过程可以得到一些不同的多面体，例如：
More information （可能的来源）, 倒角立方体 （截边立方体） ...
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菱形十二面体与小斜方截半四面体（等价于截半立方体 ）的对偶多面体等价，其他与正四面体相关的多面体为：
More information 对称性: [3,3], (*332), [3,3]+, (332) ...
正四面体家族半正多面体
对称性 : [3,3] , (*332)
[3,3]+ , (332)
{3,3}
t0,1 {3,3}
t1 {3,3}
t1,2 {3,3}
t2 {3,3}
t0,2 {3,3}
t0,1,2 {3,3}
s{3,3}
半正多面体对偶
V3.3.3
V3.6.6
V3.3.3.3
V3.6.6
V3.3.3
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.3.3.3.3
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菱形十二面体可以视为由菱形组成的球面镶嵌图，一般菱形镶嵌 的菱形锐角顶点是3个菱形的公共顶点，有这种性质的相关多面体与镶嵌包括：
另一种菱形镶嵌的菱形锐角顶点是4个菱形的公共顶点，而菱形十二面体也属于这类镶嵌。有这种性质的相关多面体与镶嵌包括：
More information *n42 拟正对偶镶嵌对称性 V(4.n)2 的变种：, 对称性*4n2 [n,4] ...
*n 42 拟正对偶镶嵌对称性 V(4.n)2 的变种：
对称性
球面镶嵌 欧氏镶嵌 紧凑镶嵌
仿紧镶嵌
非紧镶嵌
*342
*442
*542
*642
*742
*842
*∞42
镶嵌图布局
V4.3.4.3
V4.4.4.4
V4.5.4.5 V4.∞.4.∞
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此外，菱形十二面体也可以对应到面布局为V3.2n.3.2n的镶嵌图系列中。这个系列的第一种形状时平面镶嵌，其余皆为双曲镶嵌：
部分多面体与菱形十二面体拓朴同构，例如平行十二面体 ，亦有一些非菱形组成的十二面体与菱形十二面体拓朴同构，例如筝形十二面体。
数组(a,b)为(3 / 4 3 / 2 筝形十二面体 [ 30] [ 31] [ 32] 筝形 组成的十二面体 ，具有面可递的性质，并具24阶四面体群对称性。
筝形十二面体可以视为将菱形十二面体的菱形面变形成筝形的结果。形变的方式是透过调整菱形十二面体的8个顶点，另外四个顶点保持正四面体的布局位置。其形变量可透过一个数组(a,b)来表示，当a和b皆为1时则为菱形十二面体，a表示保持着正四面体的布局位置的顶点，可以逐渐向1 / 2 1 / 2 扭歪多边形 ，其值会向正无穷大逼近。这种情形下，其顶点坐标可以表示为：
(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)
(a , a , a ), (−a , −a , a ), (−a , a , −a ), (a , −a , −a )
(−b , −b , −b ), (−b , b , b ), (b , −b , b ), (b , b , −b ) 下表列出部分数组(a,b)所形成的筝形十二面体图像：
More information 数组(a,b), (1,1) ...
数组(a,b)
(1,1)
(7 / 8 7 / 6
(3 / 4 3 / 2
(2 / 3
(5 / 8 5 / 2
(9 / 16 9 / 2
图像
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透过将菱形十二面体切割为12个菱形锥可以重新组合成第一种星形菱形十二面体。 如同其他的凸多面体，菱形十二面体也可以透过延伸面或边，直到它们相遇形成新的多面体来进行星形化。多尔曼·露可（Dorman Luke）在他的论文中描述了一些菱形十二面体的星形化体[ 33]
第一种星形菱形十二面体
第一种星形菱形十二面体的三维模型
对偶复合体是由一个多面体 与其对偶多面体 组合成的复合图形。菱形十二面体与其对偶的复合体为复合截半立方体菱形十二面体 。其共有26个面、48条边和26个顶点，其尤拉示性数 为4，亏格 为-1[ 34]
菱形十二面体可以独立填满三维空间，其所形成的几何结构称为菱形十二面体堆砌 。[ 23]
Quick Facts 菱形十二面体图, 度分布 ...
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在图论 的数学领域中，与菱形十二面体相关的图为菱形十二面体图 ，是菱形十二面体之边与顶点的图 非哈密顿图 [ 37]
菱形十二面体图有24条边和14个顶点 ，其中度 为3的顶点有8个；度 为4的顶点有6个。
菱形十二面体图的特征多项式 为[ 37]
(
x
−
2
)
3
x
6
(
x
+
2
)
3
(
x
2
−
12
)
{\displaystyle (x-2)^{3}x^{6}(x+2)^{3}(x^{2}-12)}
色多项式 为[ 37] (x-1) x (x12 -23 x11 +253 x10 -1759 x9 +8615 x8 -31361 x7 +87205 x6 -187127 x5 +308232 x4 -380364 x3 +333138 x2 -184963 x+48831)
此文献[ 19]
3
6
8
{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}}
内切球 半径=
3
4
{\displaystyle {\frac {3}{4}}}
a 内切球 半径为
3
4
3
6
8
a
=
2
2
3
a
{\displaystyle {\frac {\frac {3}{4}}{\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}}a={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a}
[ 注 1] 此文献[ 19]
3
6
8
{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}}
边心距 =
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
a 边心距 为
3
2
3
6
8
a
=
2
2
3
a
{\displaystyle {\frac {\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}}a={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a}
[ 注 3] 此文献[ 19]
3
6
8
{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}}
体积 =
27
2
16
{\displaystyle {\frac {27{\sqrt {2}}}{16}}}
a 体积 为
27
2
16
(
3
6
8
)
3
a
3
=
16
3
9
a
3
{\displaystyle {\frac {\frac {27{\sqrt {2}}}{16}}{\left({\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right)^{3}}}a^{3}={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}}
[ 注 5]
Cromwell, P. Polyhedra . United Kingdom: Cambridge. 1997: 79 –86 Archimedean solids . ISBN 0-521-55432-2
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第一种星形菱形十二面体
第一种星形菱形十二面体的三维模型
