歐拉方程式 (流體動力學)

在流體動力學中，歐拉方程式是一組支配無黏性流體運動的方程式，以萊昂哈德·歐拉命名。方程組各方程式分別代表質量守恆（連續性）、動量守恆及能量守恆，對應零黏性及無熱傳導項的納維-斯托克斯方程式。歷史上，只有連續性及動量方程式是由歐拉所推導的。然而，流體動力學的文獻常把全組方程式——包括能量方程式——稱為「歐拉方程式」^[1]。

此條目頁的主題是流體動力學。關於其他意義的歐拉方程式，請見「歐拉方程式」。

跟納維－斯托克斯方程式一樣，歐拉方程式一般有兩種寫法：「守恆形式」及「非守恆形式」。守恆形式強調物理解釋，即方程式是通過一空間中某固定體積的守恆定律；而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。

歐拉方程式可被用於可壓縮性流體，同時也可被用於非壓縮性流體——這時應使用適當的狀態方程式，或假設流速的散度為零。

本條目假設經典力學適用；當可壓縮流的速度接近光速時，詳見相對論性歐拉方程式。

歷史

第一份印有歐拉方程式的出版物是歐拉的論文《流體運動的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），發表於1757年，刊載於《柏林科學院論文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它們是最早被寫下來的一批偏微分方程式。在歐拉發表他的研究之時，方程組只有動量方程式及連續性方程式，因此只能完整描述非壓縮性流體；在描述可壓縮性流體時，會因條件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯添加了一條方程式，第三條方程式後來被稱為絕熱條件。

在十九世紀的後半期，科學家們發現，與能量守恆相關的方程式在任何時間都得被遵守，而絕熱條件則只會在有平滑解的情況下會被遵守，因為該條件是由平滑解時的基礎定律所造成的後果。在發現了狹義相對論之後，能量密度、質量密度及應力這三個概念，被統一成應力-能量張量這一個概念；而能量及動量也同樣被統一成一個概念——能量-動量張量^[2]。

守恆形式（分量）

以下是用微分形式寫成的歐拉方程式：

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}$

其中

• ρ為流體的質量密度；
• u 為流體速度向量，分量為u、v及w；
• E = ρ e + ½ ρ ( u² + v² + w² )為每一單位容量所含的總能量，其中e為流體每一單位容量所含的內能；
• p為壓力；
• ${\displaystyle \otimes }$代表張量積。

第二條方程式包含了一並矢積的散度，用下標標記（每一個j代表從1至3）表示會較易明白：

${\displaystyle {\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i=1}^{3}{\partial (\rho u_{i}u_{j}) \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0,}$

其中i及j下標各代表直角座標系的三個分量：( x₁ , x₂ , x₃ ) = ( x , y , z )及( u₁ , u₂ , u₃ ) = ( u , v , w )。

注意以上方程式是用守恆形式的，而守恆形式強調的是方程式的物理起因（因此在計算流體力學中的電腦模擬上使用這種形式最方便）。而代表動量守恆的第二條方程式可用非守恆形式表示：

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0}$

但是在這個形式上，會比較看不出歐拉方程式與牛頓第二運動定律的直接關聯。

守恆形式（向量）

以下是用向量及守恆形式寫成的歐拉方程式：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{z}}{\partial z}}=0,}$

其中

${\displaystyle {\mathbf {m} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}};}$

${\displaystyle {\mathbf {f} _{x}}={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{y}}={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{z}}={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.}$

在這個形式下，不難看出f_x、f_y及f_z是通量。

以上方程式分別代表質量守恆、動量的三個分量及能量。裏面有五條方程式，六個未知數。封閉系統需要一條狀態方程式；最常用的是理想氣體定律（即p = ρ (γ−1) e，其中ρ為密度，γ為絕熱指數，e為內能）。

注意能量方程式的奇特形式；見藍金-雨果尼厄方程式。附加含p的項可被詮釋成相鄰的流體元對某流體元所作的機械功。在非壓縮性流體中，這些附加項的總和為零。

取流線上歐拉方程式的積分，假設密度不變，及狀態方程式具有足夠的剛性，可得有名的白努利定律。

非守恆形式（通量雅可比矩陣）

在構建數值解，例如求雷曼問題的近似解的時候，展開通量可以是很重要的一環。使用上面以向量表示的守恆形式方程式，展開其通量可得非守恆形式如下：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0.}$

其中A_x、A_y及A_z為通量雅可比矩陣，各矩陣為：

${\displaystyle \mathbf {A} _{x}={\frac {\partial \mathbf {f} _{x}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{y}={\frac {\partial \mathbf {f} _{y}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{z}={\frac {\partial \mathbf {f} _{z}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }}.}$

上式中這些通量雅可比矩陣A_x、A_y及A_z，還是狀態向量m的函數，因此這種形式的歐拉方程式跟原方程式一樣，都是非線性方程式。在狀態向量m平滑變動的區間內，這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程式是相同的。

理想氣體的通量雅可比矩陣

將理想氣體定律用作狀態方程式，可推導出完整的雅可比矩陣形式，矩陣如下^[3]：

理想氣體的通量雅可比矩陣

x方向的通量雅可比矩陣： ${\displaystyle \mathbf {A} _{x}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\\{\hat {\gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-\gamma )u&-{\hat {\gamma }}v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-uv&v&u&0&0\\-uw&w&0&u&0\\u[(\gamma -2)H-a^{2}]&H-{\hat {\gamma }}u^{2}&-{\hat {\gamma }}uv&-{\hat {\gamma }}uw&\gamma u\end{array}}\right].}$ y方向的通量雅可比矩陣： ${\displaystyle \mathbf {A} _{y}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\\-vu&v&u&0&0\\{\hat {\gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&(3-\gamma )v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-vw&0&w&v&0\\v[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uv&H-{\hat {\gamma }}v^{2}&-{\hat {\gamma }}vw&\gamma v\end{array}}\right].}$ z方向的通量雅可比矩陣： ${\displaystyle \mathbf {A} _{z}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\\-uw&w&0&u&0\\-vw&0&w&v&0\\{\hat {\gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&-{\hat {\gamma }}v&(3-\gamma )w&{\hat {\gamma }}\\w[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uw&-{\hat {\gamma }}vw&H-{\hat {\gamma }}w^{2}&\gamma w\end{array}}\right].}$ 其中${\displaystyle {\hat {\gamma }}=\gamma -1}$.

總焓H為：

${\displaystyle H={\frac {E}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }},}$

及聲速a為：

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.}$

線性化形式

將含通量雅可比矩陣的非守恆形式，在狀態m = m₀的周圍線性化後，可得線性化歐拉方程式如下：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0,}$

其中A_x,0 、A_y,0及A_z,0分別為A_x、A_y及A_z於某參考狀態m = m₀的值。

線性化一維的非耦合波方程式

如果棄用守恆變量而改用特徵變量的話，歐拉方程式可被變換成非耦合波方程式。舉例說，考慮以線性通量雅可比矩陣形式表示的一維（1-D）歐拉方程式：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}=0.}$

矩陣A_x,0可被對角化，即可將其分解成：

${\displaystyle \mathbf {A} _{x,0}=\mathbf {P} \mathbf {\Lambda } \mathbf {P} ^{-1},}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],}$

${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u-a&0&0\\0&u&0\\0&0&u+a\\\end{bmatrix}}.}$

上式中，r₁、r₂及r₃為矩陣A_x,0的右特徵向量（若${\displaystyle Ax_{R}=\lambda _{R}x_{R},\ }$，則x_R為右特徵向量），而λ₁、λ₂及λ₃則為對應的特徵值。

設特徵變量為：

${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {m} ,}$

由於A_x,0不變，原來的一維通量雅可比矩陣方程式，乘上P⁻¹後可得：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+\mathbf {\Lambda } {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial x}}=0}$

經過這樣的處理後，方程式實際上已經被非耦合化，而且可被視作三條波方程式，其中特徵值為波速。變量w_i為雷曼不變量，或在一般的雙曲系統中為特徵變量。

衝擊波

歐拉方程式為非線性雙曲方程式，而它們的通解為波。與海浪一樣，由歐拉方程式所描述的波碎掉後，所謂的衝擊波就會形成；這是一種非線性效應，所以其解為多值函數（即函數內的某自變量會產生多個因變量）。物理上這代表構建微分方程式時所用的假設已經崩潰，如果要從方程式上取得更多資訊，就必須回到更基礎的積分形式。然後，在構建弱解時，需要使用藍金-雨果尼厄衝擊波條件，在流動的物理量中避開不連續點「跳躍」，上述物理量有密度、速度、壓力及熵。物理量很少會出現不連續性；在現實的流動中，黏性會把這些不連續點平滑化。

許多領域都有研究衝擊波的傳播，尤其是出現流動處於足夠高速的領域，例如空氣動力學及火箭推進。

一維中的方程式

在某些問題中，特別是分析導管中的可壓縮流，或是當流動呈圓柱或球狀對稱的時候，一維歐拉方程式都是很有用的近似法。一般來說，解歐拉方程式會用到黎曼的特徵線法。首先需要找出特徵線，這條曲線位於兩個獨立變量（即x及t）所構成的平面上，在這條線上偏微分方程式（PDE）會退化成常微分方程式（ODE）。歐拉方程式的數值解法非常倚賴特徵線法。

註釋

1. Anderson, John David. Computational fluid dynamics: the basics with applications. New York, NY: McGraw-Hill. 2010 [2022-07-21]. ISBN 978-0-07-001685-9. OCLC 711810200. （原始內容存檔於2022-07-21） （英語）.
2. Christodoulou, Demetrios. The Euler Equations of Compressible Fluid Flow. Bulletin of the American Mathematical Society. 2007-06-18, 44 (4). ISSN 0273-0979. doi:10.1090/S0273-0979-07-01181-0 （英語）.
3. 見Toro (1999)

資料來源及延伸閱讀

• Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962.
• Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055.
• Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8.