並矢積

在數學特別是雙線性代數中，有同樣維度的兩個向量 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 的並矢積

${\displaystyle \mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$

是這些向量的張量積，而結果是階為 2 的張量。

分量

關於選定的基 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}}$，並矢積 ${\displaystyle \mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ 的分量 ${\displaystyle P_{ij}}$ 可以定義為

${\displaystyle P_{ij}=u_{i}v_{j}}$ ,

這裏的

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i}u_{i}\mathbf {e} _{i}}$ ,

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j}v_{j}\mathbf {e} _{j}}$ ,

而

${\displaystyle \mathbb {P} =\sum _{i,j}P_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$ .

矩陣表示

並矢積可以簡單的表示為通過列向量 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 乘以行向量 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 的方塊矩陣。例如，

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \rightarrow {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}},}$

這裏的箭頭指示這只是並矢積關於特定基的特定表示。在這種表示中，並矢積是克羅內克積的特殊情況。

參見

• 並矢張量
• 張量積
• 克羅內克積
• 外積