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通量(英語:Flux),或稱流束是通過一個表面或一個物質的量,是一個物理學和應用數學的概念。在熱學和流體力學領域中,研究輸運現象時,是指在單位時間內通過單位面積的具有方向的流量,它是一個向量;在電磁學領域中,是指在單位面積上垂直於其表面的磁場或電場的強度,它是一個純量。
此條目翻譯品質不佳。 (2023年1月26日) |
給定一個三維空間中的向量場以及一個簡單有向曲面,則向量場通過曲面的通量就是曲面每一點上的場向量在曲面法向方向上的分量的積分:
其中是積分的面積元,n是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量。如果曲面是封閉的,例如球面,那麼通常約定法向量是從裏朝外的,所以這時候的通量是描述曲面上的場向量朝外的程度。
通量這個詞源於拉丁語:fluxus 意為「流」,fluere 是「流動」的意思。而 fluxion 一詞是由牛頓引入微積分。
熱通量的概念是約瑟夫·傅立葉對熱傳遞現象分析的重要貢獻之一。他的重要著作《熱的分析理論》(英語:The Analytical Theory of Heat)中,將 fluxion 定義為一個核心量,並推導出了現在的通量表達式。這些表達式與平板的溫度差異有關,且更廣義地在其他幾何形狀的溫度梯度或溫度差異有關。根據詹姆斯·克拉克·馬克士威的研究,可以顯示其傳輸的定義早於磁通量定義。馬克士威的具體引言是:
In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface.(中文:就通量而言,我們必須以通過表面的每個通量對其表面取積分。這個操作的結果即通量的曲面積分。它呈現的是通過該表面的量。)
—— 詹姆斯·克拉克·馬克士威
根據傳輸的定義,通量可為單一向量,也可以是位置的向量場/函數。後者的通量可以很容易地在一個表面上積分。相比之下,根據電磁學定義,通量是對表面的積分;對於第二種定義的通量進行積分是沒有意義的,因為這樣會對表面進行兩次積分。因此,馬克士威的引言只有在「通量」按照傳輸定義使用時才有意義(進一步來說,是向量場而不是單一向量)。這很諷刺,因為馬克士威是我們現在所稱的「電通量」和「磁通量」的主要發展者之一,而這些名稱是根據電磁學定義來的。根據該引言(和傳輸定義),它們應該被稱為「電通量的曲面積分」和「磁通量的曲面積分」。在這種情況下,「電通量」應定義為「電場」,「磁通量」應定義為「磁場」。這意味着馬克士威將這些場視為某種形式的流動/通量。
根據電磁學定義的通量,其相應的通量密度(假設使用這個術語)指的是沿積分表面的導數。根據微積分基本定理,相應的通量密度是根據傳輸定義的通量。給定一個流,例如電流——每單位時間的通電量,電流密度根據傳輸定義也是一個通量——每單位時間每單位面積的通電量。由於通量的定義衝突,以及在非技術性英語中通量、流動和電流的互換性,本文中的所有術語有時會被互相使用且可能含義模糊。本文其餘部分中具體的通量將根據其在文獻中的廣泛接受度來使用,無論該術語對應哪種通量的定義。
在輸送現象(熱傳、質傳和流體動力學),通量被定義為「每單位面積的流量的流動率」,其因次組成為 量 (物理)·[時間]−1·[面積]−1[1]。這個面積是流「通過」或「穿過」的表面。例如,每秒鐘流經河流橫截面的水量除以橫截面的面積,或是每秒鐘落在地面一塊區域上的陽光能量除以該區域的面積,都是通量的例子。
以下是按複雜度遞增的三個定義。每個定義都是下面這個的一個特例。在所有情況下,常用符號 (或 )表示通量, 表示流動的物理量, 表示時間, 表示面積。當且唯當這些標識符是向量時,它們將以粗體顯示。
首先,通量作為一個(單一的)純量時:
其中
在這種情況下,測量固定的通量的表面,且具有面積。假設該表面是平坦的,而流量在各處相對於位置是恆定的,並且垂直於表面。
其次,通量作為沿着表面定義的純量場,即作為表面上各點的函數:
如上所述,假設表面是平坦的,且流量在各處都垂直於表面。然而,流不需要是恆定的。此時, 是 p(表面上的一個點)的函數,面積 亦是。與其測量通過整個表面的總流量,不如 測量的是以 p 為中心、沿表面上面積 A 的圓盤通過的流量。
最後,通量作為一個向量場時:
在這種情況下,我們沒有固定的表面來測量。 是一個點、面積和方向(由單位向量 給定)的函數,並測量與該單位向量垂直的面積 A 的圓盤中的流量。 的定義是選擇使該點周圍流量最大的單位向量,因為真正的流量在垂直於該單位向量的圓盤上達到最大值。因此,當單位向量指向流動的「真正方向」時,它唯一地最大化該函數。(嚴格來說,這是一種濫用符號,因為「arg max」無法直接比較向量;我們改為選擇具有最大範數的向量。)
這些直接的定義,尤其是最後一個,顯得相對不完善。例如,從經驗測度來看,arg max 的構造是人工的,而使用風向標或類似工具可以簡單推斷出某一點的通量方向。與其直接定義向量通量,通常更直觀的是陳述一些關於它的性質。此外,通量可以根據這些性質唯一確定。
若通量 j 以角度 通過(為該通量與該面積法向量 形成之夾角),則其點積為:
也就是說,通過表面的通量分量(即垂直於表面的分量)是 ,而沿切向通過表面的通量分量是 ,但實際上沒有通量沿切向通過表面。唯一通過且垂直表面的通量分量是其餘弦分量。
對於向量通量,通量 j在表面 上的曲面積分給出了每單位時間通過該表面的適當流量:
其中 A(及其無窮小量)是向量面積—— 的組合,結合了面積 A 的大小和垂直於該面的單位向量 。與第二組方程式不同的是,這裏不需要平坦的表面。