1 − 2 + 3 − 4 + …

在數學中，1 − 2 + 3 − 4 + …表示以由小到大的接續正整數，依次加後又減、減後又加，如此反覆所構成的無窮級數。它是交錯級數，若以Σ符號表示前m項之和，可寫作：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}}$

1 − 2 + 3 − 4 + …的前一萬五千項相加結果示意圖

此無窮級數發散，即其部分和的序列（1, −1, 2, −2, …）不會趨近於任一有窮極限。也就是說，單從極限的角度看的話，1 − 2 + 3 − 4 + …不存在和。不過，在18世紀中期，萊昂哈德·歐拉寫出了一個他承認為悖論的等式：

${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}}$

該等式的嚴謹解釋在很久以後才出現。自1890年起，恩納斯托·切薩羅、埃米爾·鮑萊耳與其他一些數學家就在研究有哪些定義良好的方法，可以給發散級數賦予廣義和^{[註 1]}——其中包含了對歐拉結果的新解釋。這些求和法大部分可簡單地指定1 − 2 + 3 − 4 + …的「和」為¹⁄₄。切薩羅求和是少數幾種不能計算出1 − 2 + 3 − 4 + …之和的方法，因為此級數求和需要某個略強的方法——譬如阿貝耳求和。

級數1 − 2 + 3 − 4 + …與格蘭迪級數1 − 1 + 1 − 1 + …有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …的特例（其中n為任意自然數），這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了我們現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。

發散性

級數項（1, −2, 3, −4, …）不趨近於0，因此通過項測試便可確定1 − 2 + 3 − 4 + …發散。不過作為後文的參考，此處也以基礎的方法去證明此級數發散。首先，從定義可知，無窮級數的斂散性是由其部分和的斂散性所確定的，1 − 2 + 3 − 4 + …的部分和為：^[1]

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

此部分和序列的一個顯著特點是每個整數都恰好出現一次——如果將空部分和計入還包括0——因此它還說明了整數集${\displaystyle \mathbb {Z} }$是可數的。^[2]很明顯的，不可能讓變化的結果收斂到一個確定的數^{[註 2]}，因此1 − 2 + 3 − 4 + …發散。

求和的啟發

穩定性與線性

由於各項 1, −2, 3, −4, 5, −6, … 以一種簡單模式排列，級數1 − 2 + 3 − 4 + …可以透過移項以及逐項求和，再透過解方程得出一數值。暫時假設s = 1 − 2 + 3 − 4 + …這樣的寫法有意義——其中的s為常數，那麼以下的計算將說明s = ¹⁄₄：

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}4s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&({\color {Blue}\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Red}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Purple}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&-\,1\,+&({\color {OliveGreen}\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,6\,+\,\cdots })\quad \,\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,(\,{\color {Blue}1}\,{\color {Red}-\,2}\,{\color {Purple}-\,2}\,{\color {OliveGreen}+\,3}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,{-\,\color {Blue}2}\,{\color {Red}+\,3}\,{\color {Purple}+\,3}\,{\color {OliveGreen}-\,4}\,)\;\;\;\,&+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}3}\,{\color {Red}-\,4}\,{\color {Purple}-\,4}\,{\color {OliveGreen}+\,5}\,)\ \quad &+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}-\,4}\,{\color {Red}+\,5}\,{\color {Purple}+\,5}\,{\color {OliveGreen}-\,6}\,)\,+\,\cdots ]\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,0\,+\,0\,+\,0\,+\,0\,\cdots ]\ \;\\4s\ &=&\ 1\ \,\;\end{smallmatrix}}}$

因此，s = ¹⁄₄^[3]，如右圖所示。

白球代表+1，紅球代表-1；把白球和紅球連起來，即是代表它們正負相消並等於0。如圖所示，複製4份1 − 2 + 3 − 4 + …，僅使用移項與逐項相加，結果為1。而單看左或右其中一邊的話，則是兩個1 − 2 + 3 − 4 + …副本加起來，經抵消後得出1 − 1 + 1 − 1 + …。

儘管1 − 2 + 3 − 4 + …沒有通常意義的和，等式s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄卻可被賦予另外一種意義。發散級數之「和」的一種普遍定義被稱為一種求和法或可和法——通常是對於符合特定條件的一類級數可求和。求和法有許多種（部分將在下文中有所描述），這些方法跟普通求和也許有着一些共同的特性，例如：

1. 線性：設A^Σ為一種級數求和法。如果對於A^Σ可定義其上的那些序列，A^Σ是個線性泛函的話，則簡單地稱A^Σ是線性的。也就是說，對於序列r, s和純量k，有A^Σ(k r+s)=k A^Σ(r)+A^Σ(s)。
2. 穩定性：如果a是一個初項為a₀的序列，設a^*為a去掉初項後的序列，即對於一切n有a^*_n=a_n+1，那麼A^Σ(a)有定義當且僅當A^Σ(a^*)有定義。而且，A^Σ(a)=a₀ + A^Σ(a^*)。

因此，以上的計算實際上證明的是下面的內容：給出任意的線性且穩定的可和法，並能對級數1 − 2 + 3 − 4 + …求和，則結果必為¹⁄₄。此外，由於：

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\;\;\;&+\quad \quad \ &(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \;\;\;\;\;\\\\\ &=&1\,+&(\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,&+\,1\,-\,2\,+&(\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,\cdots )\qquad \ \;\;\;\;\,\\\\\ &=&0\,+&(\,(\,-\,2\,+\,3\,)\,+\,(\,3\,-\,4\,)&+\quad \quad \ &(\,-\,4\,+\,5\,)\,+\,(\,5\,-\,6\,)\,+\,\cdots )\\\\{\frac {1}{2}}&=&\!&\ \ \ 1\,\quad -\quad 1&+\quad \quad \ &\ \;1\quad -\quad 1\quad \cdots \end{smallmatrix}}}$

故此方法也一定能對格蘭迪級數求和，並得結果為${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}$

柯西乘積

1891年，恩納斯托·切薩羅在他的一篇論文中指出有可能將發散級數嚴謹地納入微積分學，並寫道：

已可寫出

${\displaystyle (1-1+1-1+\cdots )^{2}=1-2+3-4+\cdots }$

並斷定兩邊均等於¹⁄₄。^[4]

對切薩羅而言，這個等式是他前一年發表的一個定理的應用，該定理可說是在歷史上關於可求和發散級數的第一個定理。關於此求和法的詳細內容請見下文；其中心思想是：1 − 2 + 3 − 4 + …是1 − 1 + 1 − 1 + …對1 − 1 + 1 − 1 + …的柯西乘積。

1 − 2 + 3 − 4 + … 以 1 − 1 + 1 − 1 + … 的雙重柯西乘積表示

兩個無窮級數的柯西乘積可被定義，即使在它們都發散的時候。例如，若Σa_n= Σb_n= Σ(−1)ⁿ，柯西乘積的項由有窮對角線求和的方式給出：

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}$

積級數為：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }$

所以，如果有一種求和法可以保持兩個級數的柯西乘積，並能得出${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\tfrac {1}{2}}}$的結果，那麼它也能夠求出${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\tfrac {1}{4}}}$。由前一節的結果可知，當方法是線性、穩定並保持柯西乘積的時候，1 − 1 + 1 − 1 + …與1 − 2 + 3 − 4 + …的可求和之間是等價的。

切薩羅的定理是一個微妙的例子。級數1 − 1 + 1 − 1 + …在最弱的意義上是切薩羅可求和，稱作(C, 1)-可求和，然而1 − 2 + 3 − 4 + …則需要切薩羅的定理的一個更強的形式^[5]，它是(C, 2)-可求和的。由於切薩羅的定理的所有形式均為線性且穩定的，所得的值正是此前計算所得的。

特殊方法

切薩羅與赫爾德

關於¹⁄₄的(H, 2)和的數據

若1 − 2 + 3 − 4 + …的(C, 1)切薩羅和存在，要找到其數值就需要計算該級數部分和的算術平均值。^[6] 部分和為：

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

這些部分和的算術平均值為：

1, 0,²⁄₃, 0,³⁄₅, 0,⁴⁄₇, ….

此平均值序列不收斂，因此1 − 2 + 3 − 4 + …不是切薩羅可求和。

切薩羅求和有兩種有名的廣義化：讓這些在概念上更簡單的是(H, n)法的序列，其中n為自然數。(H, 1)和為切薩羅求和，更高的方法則重複平均值的計算。在上文中，偶數項平均值趨近於¹⁄₂，奇數項平均值則全部等於0，所以平均值的平均值趨近於 0 與¹⁄₂的平均數，即¹⁄₄。^[7]因此，1 − 2 + 3 − 4 + …是(H, 2)-可求和，其值為¹⁄₄。

符號「H」代表奧圖·赫爾德。1882年，他第一次證明了被現在數學家們所看作的在阿貝耳求和與(H, n)求和之間的關係；-1 + 2 − 3 + 4 − …是他給的第一個例子^[8]。¹⁄₄是1 − 2 + 3 − 4 + …的(H, 2)和這個事實也保證了它是阿貝耳和；這些都將在下文直接予以證明。

另外一個常用的切薩羅求和的廣義化，是(C, n)法的序列。已經證明了(C, n)求和與(H, n)求和均能給出相同的結果，但是它們卻有不同的歷史背景。在1887年，切薩羅已經接近於陳述出(C, n)求和的定義了，但是他只給出了少量的例子。特別的，他在計算1 − 2 + 3 − 4 + …為¹⁄₄時所採用的方法可能是(C, n)的另一種描述，但是在當時並沒有對其進行證明。他在1890年正式定義了(C, n)法，以陳述他的定理：一個(C, n)-可求和級數與一個(C, m)-可求和級數的柯西乘積是(C, m + n + 1)-可求和。^[9]

阿貝耳求和

1−2x+3x²+…的一些部分和（綠色、藍色和黑色曲線）；1/(1 + x)²（近中間的紫色曲線） ；以及在x趨近於1時的極限（以點標示）

在一份1749年的報告中，萊昂哈德·歐拉承認級數1 − 2 + 3 − 4 + …是發散的，但還是決定要對其求和：

……當說該級數1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …的和為¹⁄₄時，那肯定看起來是悖論。因為對該級數的100項相加，我們得到了-50，但是，101項的和卻給出+51，這與¹⁄₄是截然不同的，而且這種差距還會隨着項數增加而變得更大。不過我在前一段時間已經注意到了，有必要給「和」這個詞賦予一個更加廣泛的意義……。^[10]

歐拉曾幾次提議將「和」這個詞廣義化。在1 − 2 + 3 − 4 + …的情況下，他的設想與現在所知的阿貝耳求和相似：

……毫無疑問，級數1 − 2 + 3 − 4 + 5 + …的和為¹⁄₄；由於它是由公式¹⁄_(1+1)²展開而成，而此公式的值明顯為¹⁄₄。在考慮一般級數1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + …後這個概念變得更明晰了。這個一般級數是由表達式¹⁄_(1+x)²展開而成，當我們讓 x = 1 後，這個級數就確確實實地相等了。^[11]

至少在當絕對值 |x| < 1 時，有許多方式去驗證歐拉的下列等式正確：

${\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}$

可以對右邊作泰勒展開，或使用正規的多項式長除。從左方開始，可採用上文的一般啟發式，並嘗試乘以兩次(1+x)，或對幾何級數1 − x + x² − …求平方。歐拉似乎也提出可以對後者級數的每項求導。^[12]

以現代的觀點看，級數 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … 並沒有定義一個在x = 1時的函數，因此不能簡單地把值代入到其相應的表達式。不過由於此級數在|x| < 1時定義了一個函數，所以仍可取x趨近於1時的極限，而這就是阿貝耳和的定義：^[6]

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}$

歐拉與波萊爾

¹⁄₂−¹⁄₄的歐拉求和

歐拉對該級數還使用了另外一種技巧：歐拉轉換，這是他自己的發明。要計算歐拉轉換，首先要有可形成交錯級數的正項序列——在此情況下為1, 2, 3, 4, …。將此序列中的首項標示為 a₀。

下一步需要1, 2, 3, 4, …的前向差分序列；這恰好是1, 1, 1, 1, …。將該序列的首項標示為 Δa₀。歐拉轉換也基於差分的差分，以及更高的迭代，但是在1, 1, 1, 1, …各項之間的前向差分均為0。1 − 2 + 3 − 4 + …的歐拉轉換便可定義為：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}$

用現代術語來說，1 − 2 + 3 − 4 + …是歐拉可求和且其值為¹⁄₄。

歐拉可求和也蘊涵了另一種可求和性。將1 − 2 + 3 − 4 + …表示為：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}$

就有了相關的處處收斂級數：

${\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)}$

因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 的波萊爾和為：^[13]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}$

尺度分離

賽切夫與Woyczyński只通過兩個物理原理便得出了1 − 2 + 3 − 4 + … =¹⁄₄，這兩個原理分別是：無窮小鬆弛（infinitesimal relaxation）與尺度分離（separation of scales）。為求表達準確，這些原理促使了他們去定義一系列的「φ-求和法」，所有這些方法都可以將級數求和得¹⁄₄：

• 如果φ(x)是一個函數，其一、二階導數在(0, ∞)上是連續且可積的，有φ(0) = 1 ，並且φ(x)與xφ(x)在+∞時的極限均為0，則：^[14]

${\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}$

該結果推廣了阿貝耳求和，當取φ(x) = exp(−x)時可得到先前的等式。此一般陳述可通過將關於m的級數中的項配對，並將表達式轉換為黎曼積分的形式予以證明。在後一步中，對1 − 1 + 1 − 1 + …的相應證明（英語：Summation of Grandi's series#Separation of scales）運用了中值定理，但在這裏需要泰勒公式中更強的拉格朗日形式。

廣義化

1755年的《Institutiones》上，歐拉對相似的級數求和

1 − 1 + 1 − 1 + …的三重柯西乘積為1 − 3 + 6 − 10 + …，為三角形數的交錯級數；其阿貝耳與歐拉和為¹⁄₈。^[15]1 − 1 + 1 − 1 + …的四重柯西乘積為1 − 4 + 10 − 20 + …，為四面體數的交錯級數，其阿貝耳和為¹⁄₁₆。

另一個1 − 2 + 3 − 4 + …在略微不同的方向的廣義化是一般級數1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …。對正整數n來說，此級數有下列的阿貝耳和：^[16]

${\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}}$

其中B_n是伯努利數。對大於0的偶數n，則化約為：

${\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}$

後一個和成為尼爾斯·亨利克·阿貝爾特別嘲笑的物件，在1826年時他說：

「發散級數純粹是魔鬼的工作，膽敢去找到任何證明它們的行為都是羞恥的。如果用到它們，可以從中獲得想要的東西；同時也是它們，製造了如此多的不愉快與如此多的悖論。試問能想到比下面內容更令人驚恐的東西嗎：

0 = 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + etc.

其中，n為正數。這是一個笑料，朋友。」^[17]

切薩羅的老師歐仁·查理·卡塔蘭也輕視發散級數。在卡塔蘭的影響下，切薩羅早期提出1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …的「習用式」是「荒謬的等式」；而在1883年，切薩羅表明了當時的一個典型看法：這些公式是錯的，不過在某些場合在形式上是有用的。最後，在他1890年的書《Sur la multiplication des séries》中，切薩羅從定義開始採用了一個現代的做法。^[18]

此級數在n為非整數值的情況亦有所研究；這產生了狄利克雷η函數。歐拉研究1 − 2 + 3 − 4 + …相關級數的部分動機是η函數的函數方程，這直接導向了黎曼ζ函數的函數方程。歐拉在正偶數（包括在巴塞爾問題中）時找到這些函數值的建樹已讓他聞名，他也試圖找到正奇數（包括在阿培里常數中）時的值，但這個問題直到今天仍是難以解決的。η函數通過歐拉的方法解決會比較簡單，因為它的狄利克雷級數是處處阿貝耳可求和；而ζ函數的狄利克雷級數則非常難以對發散的部分求和。^[19]例如，1 − 2 + 3 − 4 + …在η函數中的相似級數是非交錯級數1 + 2 + 3 + 4 + …，該級數在現代物理學上有很深的應用，不過需要非常強的方法才能求和。

參見

• 伯努利數
• 黎曼ζ函數
• 泰勒級數
• 泛函方程

註釋

1. 「廣義和」是指利用一些特殊的方式，計算發散級數的「和」，由於發散級數不會有一般定義下的和，因此稱為廣義和。
2. 假定有這樣的極限值x，則總可能找到某個項，使得在其之後的所有項都在區間[x-1, x+1]之外，從而得出矛盾。

參考來源

1. Hardy p.8
2. Beals p.23
3. Hardy (p.6) 結合格蘭迪級數1 − 1 + 1 − 1 + …的計算提出了此推導過程。
4. "One already writes(1 − 1 + 1 − 1 + …)² = 1 − 2 + 3 − 4 + …and asserts that both the sides are equal to${\displaystyle s={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}}$.", Ferraro, p.130.
5. Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
6. B.A.卓里奇. 《数学分析》下册. 高等教育出版社. 2006: 346. ISBN 9787040202571.
7. Hardy, p.9. 要了解詳細的計算過程，參看 Weidlich, pp.17–18.
8. Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro批評了Tucciarone對赫爾德他自己對一般結論的看法的解釋(p.7)，不過在赫爾德對-1 + 2 − 3 + 4 − …的處理方式上，兩位作者的解釋是相似的。
9. Ferraro, pp.123–128.
10. Euler et al, p.2. 雖然這篇文章寫於1749年，但直到1768年才發表。
11. Euler et al, pp.3, 25.
12. 例如，Lavine (p.23)提倡多項式長除，但並沒有真的列出計算步驟；Vretblad (p.231)計算了柯西乘積。歐拉的建議是含糊的；參看Euler et al, pp.3, 26。 約翰·貝茲甚至提出一種包括將點集與量子諧振子相乘的範疇理論法。Baez, John C. 歐拉對 1 + 2 + 3 + … = 1/12 的證明 (PDF) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）。 math.ucr.edu （2003年12月19日）。 2007年3月11日檢索。
13. Weidlich p. 59
14. Saichev and Woyczyński, pp.260–264.
15. Kline, p.313.
16. Knopp, p.491; 在 Hardy, p.3. 中的這一點有誤
17. Grattan-Guinness, p.80. 參看 Markushevich, p.48, 另一個法語轉譯版本；保留了原有的語調。
18. Ferraro, pp.120–128.
19. Euler et al, pp.20–25.

書目

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• Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. May 1989. ISBN 0-486-65973-9.
• Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler. Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. 2006 [2007-03-22]. （原始內容存檔於2012-07-10）. Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 1768, 17: 83–106.
• Ferraro, Giovanni. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics. Archive for History of Exact Sciences. June 1999, 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036.
• Grattan-Guinness, Ivor. The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. 1970. ISBN 0-262-07034-0.
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• Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307–314 [2007-04-20]. （原始內容存檔於2019-08-21）.
• Lavine, Shaughan. Understanding the Infinite. Harvard UP. 1994. ISBN 0674920961.
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• Alexander I. Saichev, and Wojbor A. Woyczyński. Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. 1996. ISBN 0-8176-3924-1.
• Tucciarone, John. The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925. Archive for History of Exact Sciences. January 1973, 10 (1-2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405.
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• Weidlich, John E. Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. June 1950. OCLC 38624384.