狄利克雷級數

在數學中，狄利克雷級數是如下形式的無窮級數：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

其中s是一個複數，a_n是一個複數列。

狄利克雷級數在解析數論中有重要的地位。黎曼ζ函數和狄利克雷L函數都可以用狄利克雷級數來定義。有猜測所有的狄利克雷級數組成塞爾伯格類函數都滿足廣義黎曼猜想。狄利克雷級數的名稱來源於數學家約翰·彼得·狄利克雷。

例子

最有名的狄利克雷級數要數黎曼ζ函數了，即數列a_n恆等於 1 時的情形。

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

另外一個是：

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

其中 μ(n) 是默比烏斯函數。還有很多的狄利克雷級數都可以通過默比烏斯倒置算法和狄利克雷卷積得到。比如對於一個給定的狄利克雷特徵${\displaystyle \scriptstyle \chi (n)}$，有

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

其中 ${\displaystyle L(\chi ,s)}$是一個狄利克雷L函數。

還有：

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

其中φ(n) 是歐拉函數。以及：

${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}}$

其中 σ_a(n) 是因數函數。

其他關於因數函數d=σ₀的等式還有：

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}}$

對於Re(s) > 1，ζ函數的對數由下式給出：

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}$

其中 ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}$為 馮·曼戈爾特函數。

其導數由下式給出：

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

更廣泛的性質如下：對於一個劉維爾函數，${\displaystyle \scriptstyle \lambda (n)}$，有：

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

另外一個例子是關於拉馬努金和${\displaystyle c_{n}(m)}$：

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}}$。

解析性質：收斂軸標

對於一個給定的數列a_n}_{n ∈ N}

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

是一個關於復變量 s 的函數。為了使得函數有意義，需要考慮使得右端的無窮級數收斂的s。

如果a_n}_{n ∈ N}是一個有界數列，那麼f在所有Re(s) > 1的s處絕對收斂。如果 a_n = O(n^k)，那麼函數 f 在所有 Re(s) > k + 1 的 s 處（一個半平面）絕對收斂。

如果對任意n 和 k ≥ 0，和a_n + a_{n + 1} + ... + a_{n + k}有界。那麼對 Re(s) > 0 的 s ，函數 f 收斂。

以上定義的函數 f 對於定義域中的s都是解析函數。

一般來說，一個狄利克雷函數的收斂軸標是指實軸上的一個數x₀，使得對於複平面上處於直線 y=x₀ 右邊的半平面，函數都收斂（有定義）。

一般來說，與狄利克雷級數相對應的函數都可以解析擴展到更廣的領域中。

導數

對於

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

其中ƒ(n)是一個完全積性函數，並且對於Re(s) > σ₀，函數收斂，則有：

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

對於Re(s) > σ₀收斂，其中${\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}$是馮·曼戈爾特函數。

乘積

對於

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

以及

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

如果 F(s)和 G(s) 分別對 Res > a 和 Res > b 的 s 絕對收斂，那麼

當 ${\displaystyle T\sim \infty .}$時，${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,dtF(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}}$

如果 a = b 並且 ƒ(n) = g(n) 則有：

當 ${\displaystyle T\sim \infty .}$時，${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}}$

參見

• ζ函數正規化（英語：Zeta function regularization）
• L函數
• 亞純函數
• 狄利克雷η函數

參考來源

• Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976.
• G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).
• The general theory of Dirichlet's series （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
• Dirichlet series. PlanetMath.