狄利克雷η函數

其模形式參見戴德金η函數。

在數學的解析數論領域，狄利克雷η函數定義為：

${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}$

複平面上的狄利克雷η函數 ${\displaystyle \eta (s)}$ 。用顏色來編碼點 ${\displaystyle s}$的值${\displaystyle \eta (s)}$ ，強烈的色彩表示接近零的值，色度值表示值的輻角。

其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函數也用常來定義黎曼ζ函數。 對實部為正數的複數s，也可定義為狄利克雷級數表達式形式:

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.}$

表達式僅當實部為正數時收斂。對任意複數，該表達式是一個阿貝爾和，可定義為一個整函數，並由此可知ζ函數是一個極點在s = 1的單極點亞純函數。

等價定義為：

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}}$

定義在複平面上實部為正的區域，該定義形式是一個Mellin變換。

G·H·哈代給出一個函數方程的簡單證明：

${\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}$

因此能將其擴展到整個複數域。

數值算法

大多數交錯級數的串行加速技術都可應用在η函數的求值上。一個特別簡單，合理的方法是應用交錯序列的歐拉變換，得到：

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}.}$

注意第二個求和裏面是前向差分。

Borwein方法

彼得·波溫（Peter Borwein）使用包含切比雪夫多項式的近似值用來得到η函數的高效求值方法。

如果：

${\displaystyle d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}$

則：

${\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}$

當${\displaystyle \Re (s)\geq {\frac {1}{2}}}$時，誤差項 γ_n範圍：

${\displaystyle |\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|).}$

誤差分佈中的係數${\displaystyle 3+{\sqrt {8}}\approx 5.8}$顯示Borwein級數隨着n的增加而很快集中於一點。

特殊值

更多資訊：Zeta constant

• η(0) = ¹⁄₂, 格蘭迪級數（ 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·）的阿貝爾和。
• η(−1) = ¹⁄₄, 1-2+3-4+…的阿貝爾和。
• 對於大於1的整數k ，如果B_k是第k個伯努利數，那麼

  ${\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}$

同樣的:

${\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}$, 這是交錯調和級數

${\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}$

${\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}$

${\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}$

${\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}$

${\displaystyle \eta (10)={{511\pi ^{10}} \over 6842880}}$

${\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}}$

自變量為正偶數的函數生成式為：

${\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}.}$

參考資料

• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
• Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Numbers, constants and computation (2003)
• Borwein, P., [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover. 1990 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.