在數論中,對正整數n,歐拉函數是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名,它又稱為φ函數(由高斯所命名)或是歐拉總計函數[1](totient function,由西爾維斯特所命名)。
例如,因為1、3、5和7均與8互質。
歐拉函數實際上是模n的同餘類所構成的乘法群(即環的所有單位元組成的乘法群)的階。這個性質與拉格朗日定理一起構成了歐拉定理的證明。
歷史:歐拉函數與費馬小定理
- 假若 為質數, 為任意正整數,那麼 可被 整除。
然後歐拉予以一般化:
- 假若 與 互質,那麼 可被 整除。亦即,。
其中 即為歐拉總計函數。如果 為質數,那麼 ,因此,有高斯的版本[3]:
- 假若 為質數, 與 互質( 不是 的倍數),那麼 。
歐拉函數的值
以下為 為至時,對應 的值
+ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 | 4 |
10 | 10 | 4 | 12 | 6 | 8 | 8 | 16 | 6 | 18 | 8 |
20 | 12 | 10 | 22 | 8 | 20 | 12 | 18 | 12 | 28 | 8 |
30 | 30 | 16 | 20 | 16 | 24 | 12 | 36 | 18 | 24 | 16 |
40 | 40 | 12 | 42 | 20 | 24 | 22 | 46 | 16 | 42 | 20 |
50 | 32 | 24 | 52 | 18 | 40 | 24 | 36 | 28 | 58 | 16 |
60 | 60 | 30 | 36 | 32 | 48 | 20 | 66 | 32 | 44 | 24 |
70 | 70 | 24 | 72 | 36 | 40 | 36 | 60 | 24 | 78 | 32 |
80 | 54 | 40 | 82 | 24 | 64 | 42 | 56 | 40 | 88 | 24 |
90 | 72 | 44 | 60 | 46 | 72 | 32 | 96 | 42 | 60 | 40 |
若有標準分解(其中各為互異的質因子,各為質因子的次數),則歐拉函數在該處的值為
亦可等價地寫成
此結果可由在質數冪處的取值,以及其積性得到。
最簡單的情況有(小於等於1的正整數中唯一和1互質的數就是1本身)。
歐拉函數是積性函數,即是說若m,n互質,則。使用中國剩餘定理有較簡略的證明:設A, B, C是跟m, n, mn互質的數的集,據中國剩餘定理,和可建立雙射(一一對應)關係,因此兩者元素個數相等。
較詳細的證明如下:
設,且。若與互質,則與、均互質。又因為,若分別與互質,則一定和互質。反之亦然,即若與互質,則亦有分別與互質。
由中國剩餘定理,方程組
的通解可以寫成 其中為固定的整數,故二元組(要滿足)與小於且與互質的正整數一一對應。
由的定義(和乘法原理),前一種數對的個數為。而後一種數的個數為。
所以,
結合以上兩小節的結果可得:若有質因數分解式,則
計算的歐拉函數值:
性質
n的歐拉函數 也是循環群 Cn 的生成元的個數(也是n階分圓多項式的次數)。Cn 中每個元素都能生成 Cn 的一個子群,即必然是某個子群的生成元。而且按照定義,不同的子群不可能有相同的生成元。此外, Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式,其中d整除n(記作d | n)。因此只要考察n的所有因數d,將 Cd 的生成元個數相加,就將得到 Cn 的元素總個數:n。也就是說:
其中的d為n的正約數。
運用默比烏斯反轉公式來「翻轉」這個和,就可以得到另一個關於的公式:
對任何兩個互質的正整數a, m(即 gcd(a,m) = 1),,有
即歐拉定理。
這個定理可以由群論中的拉格朗日定理得出,因為任意與m互質的a都屬於環 的單位元組成的乘法群
當m是質數p時,此式則為:
即費馬小定理。
歐拉商數
歐拉商數(totient number)指的是歐拉函數的值,也就是說,若m是一個歐拉商數,那至少存在一個n,使得φ(n) = m。而歐拉商數m的「重複度」(valency或multiplicity),指的是這等式的解數。[4]相對地,一個非歐拉商數指的是不是歐拉商數的自然數。顯然所有大於1的奇數都是非歐拉商數,此外也存有無限多的偶數是非歐拉商數,[5]且所有的正整數都有一個倍數是非歐拉商數。[6]
不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出:
其中C = 0.8178146...。[7]
考慮重複度,那麼不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出:
其中對任意正數k而言,誤差項R至多與x/(log x)k成比例。[8]
Ford (1999) 證明說對於任意整數k ≥ 2而言,總存在一個歐拉商數m,其重複度為k,也就是說總有數字使得這等式φ(n) = m有剛好k個解。這結果由瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基所猜測,[11]且是Schinzel猜想H的一個結果。[7]事實上,對於任何出現的重複度而言,該重複度會出現無限多次。[7][10]
然而,沒有任何數字m的重複度為k = 1。卡邁克爾猜想的歐拉函數猜想講的是沒有m的重複度為k = 1。[12]
完全歐拉商數(perfect totient number)是一個等同於其歐拉函數迭代總和的整數,也就是說,如果將歐拉函數套用在一個正整數之後,並將歐拉函數套用在如此所得的結果上,如此下去,直到最後得到1為止,並將這一系列的數給加總起來。若這總和為,那麼就是一個完全歐拉商數。
生成函數
以下兩個由歐拉函數生成的級數都是來自於上節所給出的性質:。
由(n)生成的狄利克雷級數是:
其中ζ(s)是黎曼ζ函數。推導過程如下:
- 使用開始時的等式,就得到:
- 於是
歐拉函數生成的朗貝級數如下:
其對於滿足 |q|<1 的q收斂。
推導如下:
後者等價於:
歐拉函數的走勢
隨着n變大,估計 的值是一件很難的事。當n為質數時,,但有時又與n差得很遠。
在n足夠大時,有估計:
- 對每個 ε > 0,都有n > N(ε)使得
如果考慮比值:
由以上已經提到的公式,可以得到其值等於類似的項的乘積。因此,使比值小的n將是兩兩不同的質數的乘積。由素數定理可以知道,常數 ε 可以被替換為:
就平均值的意義上來說是與n很相近的,因為:
其中的O表示大O符號。這個等式也可以說明在集合 {1, 2, ..., n} 中隨機選取兩個數,則當n趨於無窮大時,它們互質的概率趨於 。一個相關的結果是比值的平均值:
其他與歐拉函數有關的等式
- 使得
- 使得
與歐拉函數有關的不等式
未解決問題
若p是質數,則有φ(p) = p − 1。1932年,德里克·亨利·萊默問說是否有合成數n使得φ(n) 整除n − 1。目前未知是否有這樣的數存在。[13]
1933年萊默證明說若有這樣的,那麼必然是奇數、必然是無平方因子數,且必然有至少七個不同的質因數()。1980年,Cohen和Hagis證明了說,若這樣的存在,則且有至少14個不同的質因數();[14]此外,Hagis證明了說若這樣的存在且可被3除盡,那麼且有至少298848個不同的質因數()。[15][16]
此猜想認為說不存在正整數n,使得對於所有其他的m而言,在m ≠ n的狀況下必有φ(m) ≠ φ(n)。可見上述Ford定理一節的說明。
若有一個如此的反例存在,就必有無限多的反例存在,而最小的可能反例,在十進位下,其位數超過一百億。[4]
黎曼猜想成立,當且僅當以下不等式對所有的n ≥ p120569#成立。此處的p120569#是最初的120569個質數的乘積:
程式代碼
template <typename T>
inline T phi(T n) {
T ans = n;
for (T i = 2; i * i <= n; ++i)
if (n % i == 0) {
ans = ans / i * (i - 1);
while (n % i == 0) n /= i;
}
if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
return ans;
}
參考來源
- Milton Abramowitz、Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2節.
- Eric Bach、Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8節,234頁.
- 柯召,孫琦:數論講義(上冊),第二版,高等教育出版社,2001
文獻來源
參考資料
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