質數階乘

質數階乘（又稱：素數階乘）是所有小於或等於該數的質數的積，自然數n的質數階乘，寫作n#。例如10以下的質數有：2、3、5、7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值，寫作p_n#。例：第三個質數為5，所以p₃# = 5# = 5×3×2 = 30。 質數階乘與階乘不同於，質數階乘是質數乘積而階乘是自然數乘積。 質數階乘由Harvey Dubner（英語：Harvey Dubner）定義並命名。

此條目介紹的是質數階乘。關於另一種用法，請見「階乘質數」。

p_n# 是計算第n個質數階乘的函數

質數階乘n#（紅色的）與 階乘n!（綠色的）的比較

用質數定義

第n個質數p_n的質數階乘p_n#定義為前n個質數的積：^[1][2]

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$

其中p_k是第k個質數。

例如，p₅#代表前五個質數的乘積：

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}$

前幾個質數階乘p_n#是：

2、 6、 30、 210、 2310、 30030、 510510、 9699690、 223092870、 6469693230、 ...（OEIS數列A002110）

並定義p₀# = 1 為空積。

質數階乘p_n#的漸進遞增為：

${\displaystyle p_{n}\#=\exp \left[(1+o(1))\cdot n\log n\right]}$^[2]

其中：

• "exp"是指數函數e^x
• "o"是大O符號^[2]

用自然數定義

一般情況下，對於正整數n的一質數階乘n#（或稱作自然質數階乘）也可以被定義為：^[1][3]

${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$

其中，π(n)是質數計數函數（OEIS數列A000720），表示小於或等於某個實數n的質數的個數。

它等於：

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{if }}n>1\land n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n>1\land n{\text{ is composite}}\end{cases}}}$

• prime指質數，composite指合成數

例如，12# 代表質數≤ 12：

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}$

因為π(12) = 5，所以這個算式也可以寫成：

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310}$

前幾個自然質數階乘n#是：

1、 2、 6、 6、 30、 30、 210、 210、 210、 210、 2310、 2310

不難發現當n為合成數時，n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p₅# = 11#，因為12為合成數。

n#的自然對數是第一個柴比雪夫函數，記為${\displaystyle \theta (n)}$ 或 ${\displaystyle \vartheta (n)}$。換句話說，若${\displaystyle n\#}$是不大於n的質數的質數階乘，則${\displaystyle \ln {n\#}=\vartheta (n)}$，或等價地，${\displaystyle n\#=e^{\vartheta (n)}}$^[4]

質數階乘n#的漸進遞增為：

${\displaystyle \ln(n\#)\sim n}$

質數階乘的概念可以用於證明質數是無限的。（參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式）

恆等式

黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function ${\displaystyle J_{k}(n)}$表示：

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

質數階乘列表（部分）

n	n#	pn	pn#
0	1	無質數	1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410

參見

• 質數（素數）
• 階乘
• 歐幾里得數
• 邦澤不等式
• 柴比雪夫函數

參考文獻

1. Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

1. Weisstein, Eric W. (編). Primorial. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
2. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A002110 (Primorial numbers (first definition): product of first n primes. Sometimes written prime(n)#). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
3. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A034386 (Primorial numbers (second definition): n# = product of primes <= n.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
4. Weisstein, Eric W. (編). Chebyshev Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.