萊默的歐拉函數問題

在數學上，萊默的歐拉函數問題（Lehmer's totient problem）指的是是否有合成數${\displaystyle n}$，其歐拉函數${\displaystyle \varphi (n)}$的值可整除${\displaystyle n-1}$。這問題迄今仍未得證。

已知${\displaystyle \varphi (n)=n-1}$，當且僅當${\displaystyle n}$是質數，故對於任何質數${\displaystyle n}$而言，有${\displaystyle \varphi (n)=n-1}$，且${\displaystyle \varphi (n)}$可整除${\displaystyle n-1}$；而德里克·亨利·萊默猜想說，沒有任何合成數${\displaystyle n}$，使得${\displaystyle \varphi (n)}$整除${\displaystyle n-1}$。^[1]

歷史

• 萊默證明了說如果有這樣的合成數${\displaystyle n}$，那麼${\displaystyle n}$必然是奇數、必然是無平方因子數，且必然有至少七個不同的質因數（${\displaystyle \omega (n)\geq 7}$）。此外這樣的數必然是個卡邁克爾數。
• 1980年，Cohen和Hagis證明了說，若這樣的${\displaystyle n}$存在，則${\displaystyle n>10^{20}}$且${\displaystyle n}$有至少14個不同的質因數（${\displaystyle \omega (n)\geq 14}$）。^[2]
• 1988年，Hagis證明了說若這樣的${\displaystyle n}$存在且可被3除盡，那麼${\displaystyle n>10^{1937042}}$且${\displaystyle n}$有至少298848個不同的質因數（${\displaystyle \omega (n)\geq 298848}$）。^[3]這結果之後為Burcsi、Czirbusz和Farkas改進，他們證明了說若的${\displaystyle n}$存在且可被3除盡，那麼${\displaystyle n>10^{360000000}}$且${\displaystyle n}$有至少40000000個不同的質因數（${\displaystyle \omega (n)\geq 40000000}$）。^[4]
• 一個2011年的結果顯示，這問題小於${\displaystyle X}$的解的數量至多有${\displaystyle {X^{1/2}/(\log X)^{1/2+o(1)}}}$個。^[5]

參考資料

1. Lehmer (1932)
2. Sándor et al (2006) p.23
3. Guy (2004) p.142
4. Burcsi, P. , Czirbusz,S., Farkas, G. Computational investigation of Lehmer's totient problem. Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput. 2011, 35: 43-49.
5. Luca and Pomerance (2011)

• Cohen, Graeme L.; Hagis, Peter, jun. On the number of prime factors of n if φ(n) divides n−1. Nieuw Arch. Wiskd. III Series. 1980, 28: 177–185. ISSN 0028-9825. Zbl 0436.10002.
• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. B37. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.
• Hagis, Peter, jun. On the equation M⋅φ(n)=n−1. Nieuw Arch. Wiskd. IV Series. 1988, 6 (3): 255–261. ISSN 0028-9825. Zbl 0668.10006.
• Lehmer, D. H. On Euler's totient function. Bulletin of the American Mathematical Society. 1932, 38 (10): 745–751. ISSN 0002-9904. Zbl 0005.34302. doi:10.1090/s0002-9904-1932-05521-5 .
• Luca, Florian; Pomerance, Carl. On composite integers n for which ${\displaystyle \varphi (n)\mid n-1}$. Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2011, 17 (3): 13–21. ISSN 1405-213X. MR 2978700.
• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records 3rd. New York: Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94457-5. Zbl 0856.11001.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (編). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. 2006. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
• Burcsi, Péter; Czirbusz, Sándor; Farkas, Gábor. Computational investigation of Lehmer's totient problem (PDF). Ann. Univ. Sci. Budap. Rolando Eötvös, Sect. Comput. 2011, 35: 43–49 [2024-01-09]. ISSN 0138-9491. MR 2894552. Zbl 1240.11005. （原始內容存檔 (PDF)於2024-01-09）.