定義良好

在數學裏，術語定義良好（定義良好的 well-defined，名詞 well-definition）用於確認用一組基本公理以數學或邏輯的方式定義的某個概念或對象（一個函數，性質，關係，等等）是完全無歧義的，滿足它必需滿足的那些性質。通常定義是無歧義地表述，明白地滿足它們所需的性質。但有時候，使用任意選擇的方式來陳述定義是合理的，這時我們便要驗證定義與選擇無關。另一種情形，所需的性質可能不都是顯然的，這時要驗證它們。這些問題通常來自函數的定義。

譬如，在群論中，術語「定義良好」經常用於處理陪集時，陪集空間上的函數經常選取一個代表來定義：這時非常重要的是驗證無論選取陪集的哪個代表，就像算術運算一樣（比如，${\displaystyle 2}$加${\displaystyle 3}$總是${\displaystyle 5}$）我們總得到同樣的結果。 ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$只要 ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$，則定義有意義，從而 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle X/\sim }$ 上定義良好。函數在 ${\displaystyle X/\sim }$ 上有不同定義域，應該視為不同的映射 ${\displaystyle {\tilde {f}}}$，儘管這種差別通常被忽略。以這種觀點來看，我們說 ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ 是定義良好的如果圖表交換，即 ${\displaystyle f}$ 穿過 ${\displaystyle \pi }$ ，使得${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$，這裏 ${\displaystyle \pi }$ 是典範投影映射 ${\displaystyle X\rightarrow X/\sim }$ 。

作為一個例子，考慮實數如下定義的等價關係：${\displaystyle \theta _{1}\sim \theta _{2}}$ 如果存在整數 ${\displaystyle n}$ 使得${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=2\pi n}$，這裏 ${\displaystyle \pi }$ 為圓周率。商集 ${\displaystyle X/\sim }$ 可以和一個圓周等價，作為等價類 ${\displaystyle [\theta ]}$ 表示一個角度（事實上這是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的加法子群 ${\displaystyle 2\pi \mathbb {Z} }$ 的陪集空間 ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$）。現在如果 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 是正弦函數，則 ${\displaystyle {\tilde {f}}([\theta ])=\cos \theta }$ 是定義良好的；但是如果 ${\displaystyle f(\theta )=\theta }$ 則 ${\displaystyle {\tilde {f}}([\theta ])=\theta }$ 不是定義良好的。

「定義良好」的另外兩個問題發生在定義從一個集合 ${\displaystyle X}$ 到集合 ${\displaystyle Y}$ 的函數時。首先，${\displaystyle f}$ 需定義在 ${\displaystyle X}$ 的所有元素上。譬如，函數 ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ 不是從實數到自身定義良好的函數，因為 ${\displaystyle f(0)}$ 沒有定義。第二，對任何 ${\displaystyle x\in X}$ 需有 ${\displaystyle f(x)}$ 是 ${\displaystyle Y}$ 中的元素。譬如，函數 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 不是從實數到正實數定義良好的函數，因為 ${\displaystyle f(0)}$ 不是正數。

一個集合是定義良好的，任何給定的對象要麼是、要麼不是這個集合的對象。

另見

• 存在性
• 唯一性
• 定義的與未定義的
• 唯一量化