三角形數

一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一個等邊三角形，因此10是一個三角形數：

提示：此條目的主題不是三角函數。

三角形數

頭30個三角形數是1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, ...（OEIS數列A000217）。

三角數的二倍的平方根取整，是這個三角數的序數。

性質

• 第n個三角形數的公式是${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$。
• 第n個三角形數是從1開始的n個自然數的和。
• 所有大於3的三角形數都不是質數。
• 除了0，1，3，21，55以外，三角形數不可能是費波那契數。^{[來源請求]}
• 開始的n個立方數的和是第n個三角形數的平方（舉例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²）
• 所有三角形數的倒數之和是2。
• 任何三角形數乘以8再加1是一個平方數。
• 三角數的個位數字不可能是2、4、7、9，數字根不可能是2、4、5、7、8。
• 一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下這個公式來表示：${\displaystyle n*(2n+1)}$；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）則可以用${\displaystyle n*(2n-1)}$來表示。
• 一種檢驗正整數x是否三角形數的方法，是計算：

  ${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.}$

  如果n是整數，那麼x就是第n個三角形數。如果n不是整數，那麼x不是三角形數。這個檢驗法是基於恆等式${\displaystyle 8T_{n}+1=S_{2n+1}.}$

特殊的三角形數

• 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
• 第11個三角形數（66）、第1111個三角形數（617,716）、第111,111個三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111個三角形數（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形數，但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數不是。
• 同時為三角形數及普洛尼克數的數（不定方程${\displaystyle x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}}$）：最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……^[1][2]，對應的${\displaystyle x}$值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS數列A053141），對應的${\displaystyle y}$值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS數列A001652）。

它與其他數的關係

• 是否在相繼出現的三角形數之間至少存在一個素數，在9000000以下的數目是正確的。
• 四面體數是三角形數在立體的推廣。
• 兩個相繼的三角形數之和是平方數。
• 三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。
• 三角形數屬於一種多邊形數。
• 所有偶完美數都是三角形數。
• 任何自然數是最多三個三角形數的和。高斯發現了這個規律，他在1796年7月10日在日記中寫道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Arithmetic series, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Triangular numbers（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot
• There exist triangular numbers that are also square（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot
• 埃里克·韋斯坦因. Triangular Number. MathWorld.
• Triangular numbers via 12 days of Christmas by Vi Hart
• Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulae

參考資料

1. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
2. pronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. （原始內容存檔於2021-02-25）.