差分,又名差分函數或差分運算,一般是指有限差分(英語:Finite difference),是數學中的一個概念,將原函數
映射到
。差分運算,相應於微分運算,是微積分中重要的一個概念。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png)
此條目頁的主題是數學當中的一種函數或運算。關於電子系統設計與信號傳輸中的差分傳輸,請見「
差分信號」。
一階差分的差分為二階差分,二階差分的差分為三階差分,其餘類推。記:
為
的
階差分。
如果
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根據數學歸納法,有
![{\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^{n-i}f(x+i)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378a9d98e057cb2afcfe03160ed26d7598cf4586)
其中,
為二項式系數。
特別的,有
![{\displaystyle \ \Delta ^{2}[f](x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002e6ddd14e4ec8068b1d97640ed68e91d1012e3)
前向差分有時候也稱作數列的二項式轉換
《自然哲學的數學原理》的第三編「宇宙體系」的引理五的圖例。這裏在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應着6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。
牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由「牛頓前向差分方程」的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五[3],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。
為了展示牛頓的這個公式是如何使用的,舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項,可以找到一個多項式重新生成這些值,首先計算一個差分表,接着將對應於x0(標示了下劃線)的這些差分代換入公式,
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline x&\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}&\Delta ^{3}\\\hline 1&{\underline {1}}&&&\\&&{\underline {3}}&&\\2&4&&{\underline {2}}&\\&&5&&{\underline {0}}\\3&9&&2&\\&&7&&\\4&16&&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}+\Delta ^{1}{\dfrac {(x-x_{0})}{1!}}+\Delta ^{2}{\dfrac {(x-x_{0})(x-x_{0}-1)}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\&=1+3\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\&=1+3(x-1)+(x-1)(x-2)\\&=x^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d0bfa61c4977eeaf3022de361f67dd5f4cb8a9)
對於x值間隔為非一致步長的情況,牛頓計算均差,在間隔一致但非單位量時,即上述前向差分的一般情況,插值公式為:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left[\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}[(x-a)-ih]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}\left({\frac {x-a}{h}}-i\right)\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf264500fc988a5ec93afcba6be755b5a7c2acc)
在最終公式中hk被消去掉了,對於非一致步長的情況則不會出現階乘。
科學出版社 《數值分析及科學計算》 薛毅(編) 第六章 第2節 Newton插值. P204.
科學出版社 《數值分析及科學計算》 薛毅(編) 第六章 第2節 Newton插值. P205.