開普勒方程

開普勒方程（英語：Kepler's equation）把軌道力學中受到連心力影響的軌道中天體多種幾何性質聯繫起來。

關於開普勒方程的特定應用，請見「開普勒定律」。

圖為五種由0到1不同離心率的開普勒方程解

這條方程最早由約翰內斯·開普勒得出，推導過程見於他在1609年出版的著作《新天文學》的第60章^[1][2]，而他在著作《哥白尼天文學概要（英語：Epitome of Copernican Astronomy）》（1621年出版）的第五卷中還提出了此方程的一個迭代解^[3][4]。這條方程在物理學史和數學史上都扮演着重要的角色，特別是在古典天體力學史上。

方程

開普勒方程如下：

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

其中M為平近點角，E為偏近點角，而e則為離心率.

偏近點角E對於計算開普勒軌道上移動點的位置相當有用。比方說，天體在座標x = a(1 − e)、y = 0和時間t = t₀時經過近星點，那麼要找出天體在任意時間的位置的話，首先可由時間和平均運動n用方程M = n(t − t₀)計算出平近點角M，然後解上述的開普勒方程得E，便能由下列方程求座標：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}}$

其中a為半長軸，而b則為半短軸。

由於正弦是超越函數，所以開普勒方程是超越方程，即是說不能用代數方法解出E。一般求E需要用到數值分析和級數。

其他形式

開普勒方程共有幾種形式。每一種形式都同一種特定軌道類型有關。標準的開普勒方程用於橢圓軌道（0 ≤e<1）。雙曲開普勒方程用於雙曲軌跡（e≫1）。徑向開普勒方程用於線性（徑向）軌跡 (e=1)。拋物線軌跡（e=1）則用巴克方程（英語：Parabolic trajectory#Barker's equation）。

當e = 0時，軌道是圓形的。增加e會導致圓形變成橢圓。當e = 1時共有三種可能性：

• 拋物線軌跡；
• 沿着從吸引中心起始無限長射線向內或向外的軌跡；
• 或沿着由吸引中心和距其一定距離的點所形成的線段來回移動的軌跡。

把e從1輕微增加會形成轉角剛好低於180度的雙曲軌道。繼續增加數值會導致轉角變小，而當e趨向無限時，軌道則變成長度無限的直線。

雙曲開普勒方程

雙曲開普勒方程如下：

${\displaystyle M=e\sinh H-H}$

其中H為雙曲偏近點角。 這條方程是通過把M重新定義為−1的平方根乘上橢圓方程的右邊而得：

${\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}$

（其中E現為虛數），然後以iH取代E。

徑向開普勒方程

徑向開普勒方程如下：

${\displaystyle t(x)=\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}}$

其中t與時間成正比，而x則與射線上與吸引中心的距離成正比。下式是通過把開普勒方程成1/2並把e定為1而成：

${\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin(E)\right]}$。

代入得

${\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}})}$。

逆問題

可以利用已知的E值直接求出M。但用已知M值來求E卻要複雜得多。因為不存在解析解。

可以使用拉格朗日反算法（英語：Lagrange inversion theorem）寫出開普勒方程解的級數表達式，但所有e和M的組合都不能使級數收斂（見下文）。

文獻中對開普勒方程可解性的混淆已存在了四個世紀^[5]開普勒本人曾對找得到通解的可能性表示懷疑。

“	對於它［開普勒方程］不能用演繹法求解這點我是足夠滿意的，因為弧和正弦之間有着本質上的差異。但若果我錯了的話，任何人都應該給我指出來，而那個人在我眼中就是偉大的阿波羅尼奧斯。	”
——約翰內斯·開普勒[6]

逆開普勒方程

逆開普勒方程是所有實數值${\displaystyle e}$的開普勒方程解：

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}$

展開得：

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\bigg |}{s=(6M)^{1/3}},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}$

以上的級數可用Wolfram Mathematica的InverseSeries運算得出。

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

這些函數只是簡單的麥克勞林級數。這樣的超越函數泰勒級數寫法可被視為那些函數的定義。因此，這個解是逆開普勒方程的正式定義。然而，在e非零的時候，E並不是M的整函數。其導數

${\displaystyle dM/dE=1-e\cos E}$

在e<1時於無限複數集合中趨向零。在${\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e)}$有解，而在這些值時

${\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}$

（其中逆cosh取正值），而dE/dM在這些點則趨向無限。這意味着此麥克勞林級數的收歛半徑為${\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}$，並且當M比這大時級數不會收歛。此級數還可用於雙曲情況，此時其收歛半徑為${\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}}$。當e=1時此級數只在M<2π時收歛。

還可以寫出用e冪表示的麥克勞林級數。這級數在e大於拉普拉斯極限（約為0.66）時不會收歛，與M值無關（除非M為2π的倍數），但若e小於拉普拉斯極限時則級數在任何M值時都會收歛。級數的係數除了第一個之外（只是M而已），都與M成週期式關係，週期為2π。

逆徑向開普勒方程

逆徑向開普勒方程（e = 1）可被寫成：

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}$

展開得：

${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}$

上述結果可用Wolfram Mathematica求得:

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

逆問題的數值近似

逆問題在大部份的應用中都能以數值方法求得函數的根：

${\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}$

可以經牛頓法來進行迭代：

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}$

注意在這個計算E和M的單位是弧度角。重覆迭代直到已經達到想要的準確度（例如，當f(E) < 所需的準確度）。對大部份的橢圓軌道而言，起始值取E₀ = M(t) 已經足夠。而對e > 0.8的軌道而言，則應取起始值{{{1}}}。相近的手法還可以用於開普勒方程的雙曲形式^[7]:66-67。而在面對拋物線軌跡的個案時則使用巴克方程（英語：Parabolic trajectory#Barker's equation）。

定點迭代

另一種有關的解法由考慮${\displaystyle E=M+e\sin {E}}$開始。重覆地將E的值代入右方式子就能得到簡單的求${\displaystyle E(e,M)}$的定點迭代（英語：fixed point iteration）算法。此方法與開普勒1621年的解相同^[4]。

function E(e,M,n)
    E = M
    for k = 1 to n
        E = M + e*sin E
    next k
    return E

迭代次數${\displaystyle n}$取決於${\displaystyle e}$的數值。雙曲形式則用相近的${\displaystyle H=e\sinh H-M}$。

這個方法與上文牛頓法解的關係如下：

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}$

若${\displaystyle M-E_{n}}$及${\displaystyle e}$的數值小的話，取一次項得近似：

${\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}$。

另見

• 開普勒定律
• 開普勒問題
• 廣義相對論中的開普勒問題

參考資料

1. Kepler, Johannes. LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. argumentum falsæ hypotheseos. Astronomia nova. 1609: 299–300 [2018-09-06]. （原始內容存檔於2019-06-11） （拉丁語）.
2. Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. Springer. 2001: 146–147. ISBN 978-0-387-95136-2.
3. Kepler, Johannes. Libri V. Pars altera.. Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ. 1621: 695–696 [2018-09-06]. （原始內容存檔於2019-06-19） （拉丁語）.
4. Swerdlow, N. M. Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation. Journal for the History of Astronomy（英語：Journal for the History of Astronomy）. 2000, 31: 339–341 [2018-09-06]. Bibcode:2000JHA....31..339S. doi:10.1177/002182860003100404. （原始內容存檔於2019-07-12）.
5. 開普勒方程常被聲稱「沒有解釋解」；例子見這裏 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。至於這是否真確取決於是否認為無限級數（或不一定收歛的級數）算解釋解。也有其他作者無理地聲稱此方程無解；例子見M. V. K. Chari, Sheppard Joel Salon 2000 Technology & Engineering.
6. "Mihi ſufficit credere, ſolvi a priori non poſſe, propter arcus & ſinus ετερογενειαν. Erranti mihi, quicumque viam monſtraverit, is erit mihi magnus Apollonius." （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Hall, Asaph. Kepler's Problem. Annals of Mathematics. May 1883, 10 (3): 65–66. doi:10.2307/2635832.
7. Pfleger, Oliver Montenbruck, Thomas. Astronomy on the Personal Computer Third edition. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 1998. ISBN 978-3-662-03349-4.

外部連結

• Danby, J. M.; Burkardt, T. M. The solution of Kepler's equation. I. Cel. Mech. 1983, 31: 95–107. Bibcode:1983CeMec..31...95D. doi:10.1007/BF01686811.
• Conway, B. A. An improved algorithm due to Laguere for the solution of Kepler's equation. 1986. doi:10.2514/6.1986-84.
• Mikkola, Seppo. A cubic approximation for Kepler's equation. Cel. Mech. 1987, 40 (3). Bibcode:1987CeMec..40..329M. doi:10.1007/BF01235850.
• Fukushima, Toshio. A method solving kepler's equation without transcendental function evaluations. Cel. Mech. Dyn. Astron. 1996, 66 (3): 309–319. Bibcode:1996CeMDA..66..309F. doi:10.1007/BF00049384.
• Charles, E. D.; Tatum, J. B. The convergence of Newton-Raphson iteration with Kepler's equation. Cel. Mech. Dyn. Astr. 1997, 69 (4): 357–372. Bibcode:1997CeMDA..69..357C. doi:10.1023/A:1008200607490.
• Stumpf, Laura. Chaotic behaviour in the newton iterative function associated with kepler's equation. Cel. Mech. Dyn. Astr. 1999, 74 (2): 95–109. doi:10.1023/A:1008339416143.
• Palacios, M. Kepler equation and accelerated Newton method. J. Comp. Appl. Math. 2002, 138: 335–346. Bibcode:2002JCoAM.138..335P. doi:10.1016/S0377-0427(01)00369-7.
• Boyd, John P. Rootfinding for a transcendental equation without a first guess: Polynomialization of Kepler's equation through Chebyshev polynomial equation of the sine. Appl. Num. Math. 2007, 57 (1): 12–18. doi:10.1016/j.apnum.2005.11.010.

• Wolfram Mathworld的開普勒方程頁面 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）